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第157页

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$7-\sqrt{5} $

D

$证明:(1)∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF$

$∴∠EDF=90°,DE=DF$

$\ ∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°,∴∠EDF=∠ADB$

$∴∠EDF-∠BDE=∠ADB-∠BDE$

$即∠ADE=∠BDF$

$∵AD=BD,∴△ADE≌△BDF(SAS),∴BF=AE$

$(2)如图①，设直线BF交AC于点G$

$由(1)得，△ADE≌△BDF, ∴∠DBF=∠DAE$

$∵∠BOG=∠AOD,∴∠BGO=∠ADB=90°$

$∴BF⊥AC$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$2\sqrt {2}$

$解:MN=\frac{\sqrt{2}}{2}BD,理由如下:$

$如图②，记AD、BC的中点分别为E、F$

$连接BD、ME、MF、NE、NF$

$∵四边形ABCD是“中方四边形”$

$M、N分别是AB、CD的中点$

$∴四边形ENFM是正方形$

$∴FM=FN,∠MN=90°$

$∴MN= \sqrt{FM^{2}+FN^{2}}=\sqrt{2}FN$

$∵N、F分别是DC、BC的中点,∴FN=\frac{1}{2}BD$

$∴MN=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$

$解:四边形DEMF的面积不变,连接DM$

$作DH⊥DM，交AC于点H,作DQ⊥AC于点Q$

$如图②$

$∴∠HDM=∠EDF=90°,DE=DF$

$∴∠HDE=∠MDF=90°-∠EDM$

$由(2)可知,BF⊥AC,∴∠EMF=90°$

$∴∠EMF+∠EDF=180°$

$在四边形DEMF中$

$∠F+∠DEM=360°-(∠EMF+∠EDF)$

$=360°-180°=180°$

$∵∠DEH+∠DEM=180°,∴∠DEH=∠F$

$∵DE=DF,∴△DEH≌△DFM(ASA)$

$∴S_{四边形DEMF}=S_{△DHM},DH=DM$

$∴QH=QM,∴DQ=\frac{1}{2}HM$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴OD=OB=\frac{1}{2}BD=\sqrt{5}$

$∵∠ADB=90°，∴OA=\sqrt {AD^{2}+OD^{2}} =5$

$∵S_{△AOD}=\frac{1}{2}OA×DQ=\frac{1}{2}AD×OD$

$∴5DQ=2\sqrt{5}×\sqrt {5}$

$∴DQ=2,∴S_{△DHM}=\frac{1}{2}HM×DQ=DQ^{2}=4$

$∴四边形DEMF的面积为4,不发生变化 $

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