$证明:(2)∵四边形ABCD是菱形$ $∴AD=DC,AO=OC,∠BAD=∠BCD$ $∴∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO$ $又∵∠AOE=∠COG,∠COF=∠AOH$ $∴△AOE≌△COG,△FOC≌△HOA∴OF=OH,OG=OE$ $∴四边形EFGH是平行四边形$ $∵OF=OH,OG=OE,OE=OH,OF=OH=OG=OE$ $∴FH=EG,∴四边形EFGH是矩形$ $(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$ $(4)由(3)可得①当AH=AE时，x=y$ $②∵AH的取值范围为 3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt{5}且AH≠4\sqrt {5}$ $根据旋转的性质可得AE的取值范围为$ $3\sqrt {5}≤AE＜5\sqrt {5}且AE≠4\sqrt {5},即x+y=8\sqrt {5}$ $综上可得x=y或x+y=8\sqrt {5}$
$解:∵∠AOD=90°,AO=10,OD=5$ $∴AD=\sqrt {AO^{2}+OD^{2}}=5\sqrt {5}$ $∴AB=BC=CD=AD=5\sqrt{5}$
$①当四边形EFGH形成的矩形如题图①一样时$ $AH=AE，此时AH满足的条件为$ $0＜AH＜5\sqrt {5}$
$②当四边形EFGH形成的矩形如题图②一样时,OE=OH,AE≠AH,AH最大为AD=5\sqrt {5}$ $此时E、F、G、H不能形成矩形,AH最小时$ $由图①可得点B与点E重合,点G与点D重合$ $对角线ED、FH交于点O,EH⊥AD$
$\ ∵AO⊥BD,BH⊥HG,AO=10$ $BD=OD×2=10,AD=5\sqrt {5}$ $∴S_{△ABD}=\frac{BD×AO}{2}=\frac{AD×BH}{2},解得BH=4\sqrt{5}$ $∴由勾股定理可得AH=\sqrt {AB^{2}-BH^{2}}=3\sqrt {5}$ $∵点H与点D重合时不能形成矩形$ $∴AH≠5\sqrt {5}$ $∴当3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt {5}时$ $满足四边形EFGH为矩形$ $当AH=4\sqrt {5}时，AE=4\sqrt {5}$ $如图②所示$ $\ ∴此时四边形EFGH同时满足①②$ $∴不能形成两个矩形，不满足题意$ $综上可得，当AH满足3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt {5}且AH≠4\sqrt {5}时$ $可作出两个不同矩形EFGH. $
解:②如图①，由题意得,E、F、G、H 是AB、BC、CD、DA的中点 操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL 将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP 将四边形OGCF放在左上方空出部分 则AQ=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AQL ∵∠DAB+∠B+∠C+∠D=360° ∠QAE=∠B,∠PAH=∠D ∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360° ∴∠PAQ=∠C ∵∠BF0+∠CFO=180°,∴∠AQL+∠AQK=180° ∴K、Q、L三点共线 同理K、P、J三点共线 由操作得，∠2=∠L,∠3=∠J ∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180° ∴∠1+∠L=180°,∠1+∠J=180° ∴OJ//KL,OL//KJ ∴四边形OJKL为平行四边形
$解:如图②，取AB、BC、CD、DA的中点$ $E、H、G、F，连接FH$ $过点E点 G分别作EM⊥FH,GN⊥FH$ $垂足为点M、N$ $将四边形EBHM绕点E旋转180°至$ $四边形EAHM'$ $将四边形FDGN绕点F旋转180°$ $至四边形FAG'N'$ $将四边形NGCH放置左上方空出部分$ $使得点C与点A重合，CG与AG’重合$ $CH与AH'重合,点N的对应点为点N$ $则四边形MM'N"N'即为所求矩形$
$由题意得，∠EMF=∠EMH=∠M'=90°$ $∠GNH=∠GNF=∠N'=90°$ $∴∠N'=∠M'MH=90°,H'M'//N'M$ $∴N'G//MM'$ $由操作得，∠1=∠4,∠2=∠3$ $∵∠1+∠2=180°,∴∠3+∠4=180°$ $∴N'',H',M'三点共线$ $同理N',G',N"三点共线.$ $∴∠N'=∠EMF=∠M'=90°$ $∴四边形MM'N''N'为矩形$
$\ 如图③，连接AC,EF,FG,GH,EH$ $∵E、H分别为BA、BC中点$ $∴EH//AC,EH=\frac{1}{2}AC$ $同理FG//AC,FG=\frac{1}{2}AC$ $∴FG//EH,FG=EH,∴∠EHM=∠GFN$ $∵∠EMF=∠CNH=90°,∴△EHM≌△GFN$ $∴EM=GN，MH=NF,∴FM=NH$ $由操作得AH'=BH,而BH=CH,∴AH'=CH$ $同理,AG'=CG$ $∵∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°$ $∠D=∠G'AF,∠B=∠H'AE$ $∠BAD+∠HAE+∠G'AF+∠H'AG'=360°$ $∴∠HAG'=∠C$ $∵四边形MM'N"N为矩形$ $∴ N'N''=MM,N"M'=N'M$ $∴N'F+FM=H'M'+H'N''$ $∴MF+NF=MF+MH=M'H'+N''H'$ $∴NH=N"H',同理NG=N"G'$ $∴四边形NGCH能放置左上方空出部分$ $∴按照以上操作可以拼成一个矩形 $
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