$解:(1)连接AD，交x轴于点E$ $∵四边形AODC是菱形,D(1,-2)$ $∴OE=1,ED=2,∴AE=DE=2$ $∴A(1,2)$ $将A(1,2)代入直线y=mx+1$ $可得m+1=2，解得m=1$ $将A(1,2)代入反比例函数y=\frac{k}{x}，可得k=2$ $(2)x\lt 0或x\gt 1 $ $(3)∵OC=2OE=2,AD=2DE=4$ $∴S_{菱形OACD}=\frac{1}{2}OC×AD=4.$ $∵S_{△OAP}=S_{菱形OACD},∴S_{△OAP}=4$ $设点P的坐标为(0,y)，则OP=|y|$ $∴\frac{1}{2}×|y|×1=4,即|y|=8,解得y=8或y=-8$ $∴点P的坐标为(0,8)或(0,-8)$ $解:(3)四边形AECF为矩形$ $对角线长为2$ $四边形BEDF为矩形$ $对角线长为2\sqrt {2}$
$解:在旋转的过程中$ $四边形 BEDF可能是菱形,理由如下:$ $如图①，∵四边形ABCD为平行四 边形$ $∴四边形ABCD的对称中心为点O$ $∴OB=OD,OE=OF$ $∴四边形BEDF为平行四边形$ $∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形$ $在Rt△ABC中，AB=1,BC=\sqrt{5}$ $∴AC= \sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=2$ $∵四边形ABCD为平行四边形$ $∴OA=OC=\frac{1}{2}AC=1$ $∴△A0B为等腰直角三角形,∴∠AOB=45°$ $∴∠AOF=∠COE=45°,即此时α为45 $
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