解：$(1)$由$ρ=\frac {m}{V}$可知，水的质量：$m_{水}=ρ_{水}V=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×50×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=50\ \mathrm {kg}$；
水吸收的热量：$Q_{吸}=c_{水}m_{水}(t-t_0)=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×50\ \mathrm {kg}×(50℃-20℃)=6.3×10^6\ \mathrm {J}$；
$(2)$电开水器消耗的电能：$W=Pt=5500\ \mathrm {W}×21×60\ \mathrm {s}=6.93×10^6\ \mathrm {J}$；
电开水器的热效率：$η=\frac {Q_{吸}}{W}×100\%=\frac {6.3×10^6\ \mathrm {J}}{6.93×10^6\ \mathrm {J}}×100\%=90.9\%$；
$(3)$开关$S $接$a$时，只有电热丝$R_1$接入电路，此时电开水器处于加热状态，其加热功率为$P_1=5500\ \mathrm {W}$；
根据$P=\frac {U^2}{R}$可知，$R_I=\frac {U^2}{P_1}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{5500\ \mathrm {W}}=8.8Ω$；
开关$S $接$b$时，电热丝$R_1$和$R_2$串联接入电路，此时电开水器处于保温状态，其保温功率为$P_2=1000\ \mathrm {W}$；
根据$P=\frac {U^2}{R}$可知，$R=\frac {U^2}{P}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{1000\ \mathrm {W}}=48.4Ω$；
$R_2$的阻值：$R_2=R-R_1=48.4Ω-8.8Ω=39.6Ω.$
