$解：因为四边形 A B C D 是矩形，$
$所以 \angle A=\angle D=90^{\circ}，$
$所以 \angle A E F+\angle A F E=90^{\circ}.$
$因为 E F \perp E C，$
$所以 \angle C E F=90^{\circ}，$
$所以 \angle A E F+\angle D E C=180^{\circ}-\angle C E F=90^{\circ}，$
$所以 \angle A F E=\angle D E C.$
$在 \triangle A E F 和 \triangle D C E 中，$
$\{\begin{array}{l}\angle A F E=\angle D E C， \\ \angle A=\angle D， \\ A E=D C，\end{array}.$
$所以 \triangle A E F ≌\triangle D C E，$
$所以 A F=D E.$
$设 A F=D E=2 x.$
$因为 D E=\frac {2}{5}\ \mathrm {A}\ \mathrm {D}，$
$所以 A D=5 x，$
$所以 A E=A D-D E=3 x，$
$所以 \tan \angle A F E=\frac {A E}{A F}=\frac {3}{2}.$
