第98页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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$解：(1) 因为 \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta.$

$所以 \cos 75^{\circ}=\cos (30^{\circ}+45^{\circ})= \cos 30^{\circ} \cos 45^{\circ}-\sin 30^{\circ} \sin 45^{\circ}$

$=\frac {\sqrt{3}}{2} \times \frac {\sqrt{2}}{2}-\frac {1}{2} \times \frac {\sqrt{2}}{2}=\frac {\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

$(2)因为 \tan \alpha=\frac {\sin \alpha}{\cos \alpha}，$

$所以 \tan 75^{\circ}=\frac {\sin 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=\frac {\frac {\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac {\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=2+\sqrt{3} .$

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$解：因为 \angle A=60^{\circ}，$

$所以 \tan A=\sqrt{3}.$

$把 x=\sqrt{3} 代入方程 2 x^2-3\ \mathrm {m} x+3=0，得$

$2 \times(\sqrt{3})^2-3\ \mathrm {m} \times \sqrt{3}+3=0，\ $

$解得 m=\sqrt{3}.$

$把 m=\sqrt{3} 代入方程 2 x^2-3\ \mathrm {m} x+3=0，\ $

$得2 x^2-3 \sqrt{3} x+3=0，\ $

$解得 x_1=\sqrt{3}， x_2=\frac {\sqrt{3}}{2}，$

$所以 \cos B=\frac {\sqrt{3}}{2}.$

$因为 \angle B 为锐角，$

$所以 \angle B=30^{\circ}，$

$所以 \angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=90^{\circ}，$

$所以 \triangle A B C 是直角三角形.$

$解:(3) 如图，在 Rt \triangle B C D 中， \angle C=90^{\circ}，$

$\ \angle D=15^{\circ}，\ $

$则 \angle C B D=90^{\circ}-\angle D=75^{\circ}. $

$在 \angle C B D 内部作 \angle D B A=15^{\circ}，\ $

$则 A D=A B， \angle B A C=\angle D+\angle D B A=30^{\circ}.$

$设 B C=a，则 A D=A B=2\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=2\ \mathrm {a}，$

$所以 A C=\sqrt{A B^2-B C^2}=\sqrt{3}\ \mathrm {a}，$

$所以 C D=A D+A C=(2+\sqrt{3})\ \mathrm {a}，$

$所以 \tan 75^{\circ}=\tan \angle C B D=\frac {C D}{B C}=2+\sqrt{3}.$

$所求 \tan 75^{\circ} 的准确值与 (2) 中的结论一致.$