$证明:∵CA=CD,CF平分∠ACB，$ $∴AF=DF.$ $又∵AE=EB，$ $∴EF为△ABD的中位线.$ $∴EF=\frac{1}{2}BD.$
$解：如图,延长BD交AC于点F$ $∵BD⊥AD$ $∴∠ADB=∠ADF=90°$ $∵AD平分∠BAC$ $∴∠BAD=∠FAD$ $在△ADB和△ADF中$ $\begin{cases}∠ADB=∠ADF\\AD=AD\\∠BAD=∠FAD\end{cases}$ $∴△ADB≌△ADF$ $∴BD=FD,AB=AF=6$ $∴CF=AC-AF=10-6=4$ $又∵E为BC的中点$ $∴DE为△BFC的中位线$ $∴DE=\frac 12CF=2$
$证明:(1)∵D，G分别是AB，AC的中点$ $∴ DG//BC,DG=\frac 12BC$ $∵E,F分别是OB,OC的中点$ $∴EF//BC,EF=\frac 12BC$ $∴DG//EF,DG=EF$ $∴四边形DEFG是平行四边形$
$解:(2)∵ OB⊥OC$ $∴∠BOC=90°,即∠EOM+∠FOM=90°$ $又∵∠EOM和∠OCB互余$ $∴∠EOM+∠ OCB=90°$ $∴∠FOM=∠OCB$ $∵ EF//BC$ $∴∠OFM=∠OCB$ $∴∠ FOM=∠OFM$ $∴OM= MF$ $∵∠OEM +∠OFM = 90°，$ $∠EOM +∠FOM = 90°$ $∴∠EOM=∠OEM$ $∴ OM=EM$ $∴EF= 2OM=6$ $由(1)知四边形DEFG是平行四边形$ $∴DG=EF=6$
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