解：$(1) $由图可知，受控电路$30 \mathrm {\mathrm {min}}$内工作了$20 \mathrm {\mathrm {min}}$，消耗的电能$W=Pt=1200\ \mathrm {W}×20×60\ \mathrm {s}=1.44×10^6\ \mathrm {J}.$
$(2)$衔铁被吸下时，受控电路工作，此时控制电路中$R_{0}$与$R_{t} $并联，$R_{0}$两端的电压$U_{0}=U=3\ \mathrm {V}$，通过电阻$R_{0}$的电流$I_{0}=\frac {U_{0}}{R_{0}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{100\ \mathrm {Ω}}=0.03\ \mathrm {A}.$
$(3)$在室温上升至$28℃$冷却系统开始工作前，控制电路只有热敏电阻接入电路，当通过热敏电阻的电流最大为$0.15\ \mathrm {A}$时，衔铁恰好被吸下，冷却系统开始工作，温度降低，$R_{t} $阻值变大，因此$R_{t} $的最小阻值$R_{t_{\mathrm {\mathrm {min}}}}=\frac U{I_{\mathrm {max}}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.15\ \mathrm {A}}=20\ \mathrm {Ω}$；衔铁被吸下后$R_{0}$与$R_{t} $并联，当电路中的总电流减小到$0.15\ \mathrm {A}$时，衔铁才会被弹回，此时冷却系统停止工作，温度不再降低，$R_{t} $达到最大阻值，则通过$R_{t} $的电流$ I_{\mathrm {\mathrm {min}}}=I_{\mathrm {\mathrm {min}}}-I_{0}=0.15\ \mathrm {A}-0.03\ \mathrm {A}=0.12\ \mathrm {A}$，$R_{t} $的最大阻值$R_{t_{\mathrm {max}}}=\frac U{I_{t_{\mathrm {\mathrm {min}}}}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.12\ \mathrm {A}}=25\ \mathrm {Ω}.$
所以热敏电阻$R $的变化范围为$20\ \mathrm {Ω}≤R_{t}≤25\ \mathrm {Ω}.$
