解：$ (1) $因为$PE$平分$∠CPD，$
设$∠CPE=∠DPE = x，$$∠CPF = y，$
则$∠APF = 60°+y，$$∠DPF = 2x - y，$
所以$2x - y = 60°+y，$
所以$x - y = 30°，$
所以$∠EPF = x - y = 30°。$
$(2) $设$t $秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角。
因为当$PA$转到与$PM$重合时，两三角板都停止转动，
所以$t\leqslant 180\div 5 = 36($秒$)。$
分三种情况讨论：
$①$当$PD$平分$∠BPC$时，
根据题意可列方程$5t - t = 90 - 30，$
解得$t = 15，$符合题意；
$②$当$PC$平分$∠BPD$时，
根据题意可列方程$5t - t = 90+\frac {1}{2}×30，$
解得$t=\frac {105}{4}，$符合题意；
$③$当$PB$平分$∠CPD$时，
根据题意可列方程$5t - t = 90 + 2×30，$
解得$t=\frac {75}{2}，$不符合题意，舍去。
所以旋转时间为$15$秒或$\frac {105}{4}$秒时，$PB，$$PC，$$PD$三
条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角。
$(3) $旋转角的度数为$30°$或$210°.$
