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 解：（1）

 因为在矩形$CEFD$中，$CD// EF，$所以$\angle CD'E = \angle DCD'=\alpha。$

 取$CD'$的中点$H，$连接$EH。$

 因为在矩形$CEFD$中，$\angle DCE=\angle FEC = 90^{\circ}，$所以$EH = CH=\frac{1}{2}CD' = 1。$

 又因为$CE = 1，$所以$CE = EH = CH = 1，$$\triangle CEH$为等边三角形。

 所以$\angle D'CE = 60^{\circ}，$则$\alpha = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}。$

 （2）

 由旋转，得$CD' = CD，$$CE' = CE = 1。$

 因为$G$为$BC$的中点，所以$CG = BG=\frac{1}{2}BC = 1，$所以$CG = CE'。$

 在正方形$ABCD$中，$\angle DCG = 90^{\circ}，$在矩形$CE'F'D'$中，$\angle D'CE' = 90^{\circ}，$

 所以$\angle D'CG=\angle DCG+\angle DCD' = 90^{\circ}+\alpha，$$\angle DCE'=\angle D'CE'+\angle DCD' = 90^{\circ}+\alpha，$

 所以$\angle D'CG = \angle DCE'。$

 又因为$CD' = CD，$所以$\triangle GCD'\cong\triangle E'CD，$所以$GD' = E'D。$

 （3）能，$\alpha = 135^{\circ}$或$315^{\circ}。$

 解：（1）

 由旋转的性质，得$DM = DE，$$\angle MDE = 2\alpha，$因为$\angle C=\alpha，$

 所以$\angle DEC=\angle MDE - \angle C=\alpha，$所以$\angle C=\angle DEC，$所以$DE = DC。$

 所以$DM = DC，$即$D$是$MC$的中点。

 （2）

 如图，延长$FE$到点$H，$使$EH = FE，$连接$CH，$$AH，$$AF。$

 因为$DF = DC，$所以$DE$是$\triangle FCH$的中位线，所以$DE// CH，$$CH = 2DE。$

 由旋转的性质，得$DM = DE，$$\angle MDE = 2\alpha，$所以$\angle FCH = 2\alpha。$

 因为$\angle B=\angle BCA=\alpha，$所以$\angle ACH=\alpha，$$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$\angle B=\angle ACH，$$AB = AC。$

 设$DM = DE = m，$$CD = n，$则$CH = 2m，$$CM = m + n，$$DF = CD = n，$

 所以$FM = DF - DM = n - m。$

 因为$AM\perp BC，$所以$BM = CM = m + n，$所以$BF = BM - FM = m + n-(n - m)=2m。$

 所以$CH = BF。$

 在$\triangle ABF$和$\triangle ACH$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle B=\angle ACH\\BF = CH\end{cases}，$

 所以$\triangle ABF\cong\triangle ACH，$所以$AF = AH。$

 因为$FE = EH，$所以$AE\perp FH，$即$\angle AEF = 90^{\circ}。$