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(1,4)

(2,4)

$y=-x²+2x+3$

$y=\frac {3}{16}(x-4\sqrt{2})²或y=\frac {3}{16}(x+4\sqrt{2})²$

$ 解：(1)因为y=\frac {3}{4}x+6$

$ 所以A(-8，0)，B(0，6)$

$ 设C(m,\frac {3}{4}m+6)$

$ 所以抛物线M可表示为y=a(x-m)²+\frac {3}{4}m+6$

$ 因为抛物线M经过点B$

$ 所以am²+\frac {3}{4}m+6=6且m≠0$

$ 所以am=-\frac {3}{4}$

$ 即m=-\frac {3}{4a}$

$ 将m=-\frac {3}{4a}代入y=a(x-m)²+\frac {3}{4}m+6$

$ 所以y=ax²+\frac {3}{2}x+6$

$ 所以b=\frac {3}{2}，c=6.$

$解：(1)把C(0，-3)代入y={(x-1)}^{2}+k，得$

$k=-4$

$∴此抛物线对应的函数表达式为y={(x-1)}^{2}-4，即y={x}^{2}-2x-3$

$(2)在y={x}^{2}-2x-3中，令y=0，则x=-1或x=3$

$∴A(-1，0)，B(3，0)$

$∴AB=4$

$∵P为抛物线上一点，横坐标为m$

$∴点P的坐标为(m，{m}^{2}-2m-3)，0＜m＜3$

$∴S_{△ABP}=\frac 1 2AB·(-y_p)=\frac 1 2×4×[-({m}^{2}-2m-3)]=-2{m}^{2}+4m+6=-2{(m-1)}^{2}+8，0＜m＜3$

$∴当m=1时，S_{△ABP}取得最大值，最大值为8$

$(3)由y={(x-1)}^{2}-4，得抛物线的顶点坐标为(1，-4)$

$①当0＜m\leqslant 1时，h=-3-({m}^{2}-2m-3)=-{m}^{2}+2m；$

$当1＜m\leqslant 2时，h=-3-(-4)=1；$

$当m＞2时，h={m}^{2}-2m-3-(-4)={m}^{2}-2m+1$

$综上所述，h={{\begin{cases} {{-{m}^{2}+2m(0＜m\leqslant 1)}} \\ {1(1＜m\leqslant 2)}\\ {{m}^{2}-2m+1(m＞2)} \end{cases}}}$