第71页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专用

$ 证明：(1) 因为AC=AB，$

$ 所以∠C=∠B. $

$ 因为CF= BE，$

$ 所以CF- EF=BE-EF，$

$ 即CE=BF.$

$ 在△ACE和△ABF 中，$

$ \begin{cases}AC=AB，\\∠C=∠B \\CE=BF，\end{cases}$

$ ∴ △ACE≌△ABF. $

$ ∴ ∠CAE=∠BAF$

$ (2) ∵ △ACE≌△ABF， $

$ ∴ AE=AF，∠CAE=∠BAF.$

$ ∵ AE²=AQ×AB，AC=AB， $

$ ∴ \frac {AE}{AQ} = \frac {AC}{AF} .$

$ 又 ∵ ∠CAE=∠FAQ $

$ ∴ △ACE∽△AFQ$

$ ∴ ∠AEC=∠AQF $

$ ∴ ∠AEF=∠BQF. $

$ ∵ AE=AF， $

$ ∴ ∠AEF=∠AFE. $

$ ∴ ∠AFE=∠BQF.$

$ 又 ∵ ∠C=∠B， $

$ ∴ △CAF∽△BFQ； $

$ ∴ \frac {CF}{BQ} = \frac {AF}{FQ} ，$

$ ∴CF×FQ=AF×BQ.$

$证明：(1)∵AB是圆O的直径， $

$∴ ∠ACB=90°. $

$∵ BE⊥CD，$

$∴ ∠DEB=90°=∠ACB.$

$∵\widehat{BC}=\widehat{BC}$

$∴ ∠D=∠A，$

$∴ △DBE∽△ABC.$

$(2) 过点C作CG⊥AB，垂足为G.$

$∵ ∠ACB=90°，AC= \sqrt{5}\ \mathrm {BC}=2 \sqrt{5} ， $

$∴ AB= \sqrt{AC²+BC²} =5. $

$∵ CG⊥AB， $

$∴ ∠AGC=90°， $

$∴ ∠ACB=∠AGC. $

$∵ ∠A=∠A， $

$∴ △ACB∽△AGC， $

$∴ \frac {AC}{AG} = \frac {AB}{AC} ， $

$∴ AG= \frac {AC²}{AB} =\frac {(\sqrt{5})²}{5} =1. $

$∵ AF=2， $

$∴ FG=AG=1， $

$∴ AC=CF， $

$∴ ∠A=∠CFA. $

$∵ ∠CFA=∠BFD，∠A=∠D， $

$∴ ∠BFD=∠D，$

$∴ BD=BF=AB-AF=5-2=3. $

$∵ △DBE∽△ABC.$

$ \frac {BD}{BA}= \frac {DE}{AC} $

$ \frac {3}{5} =\frac {DE}{\sqrt{5}} $

$∴ED=\frac {3\sqrt{5}}{5}$

(4,6)

A

$证明：(1) 因为AC=AB，$

$所以∠C=∠B. $

$因为CF= BE，$

$所以CF- EF=BE-EF，$

$即CE=BF.$

$在△ACE和△ABF 中，$

$\begin{cases}AC=AB，\\∠C=∠B \\CE=BF，\end{cases}$

$∴ △ACE≌△ABF. $

$∴ ∠CAE=∠BAF$

$证明：(2) ∵ △ACE≌△ABF， $

$∴ AE=AF，∠CAE=∠BAF.$

$∵ AE²=AQ×AB，AC=AB， $

$∴ \frac {AE}{AQ} = \frac {AC}{AF} .$

$又 ∵ ∠CAE=∠FAQ $

$∴ △ACE∽△AFQ$

$∴ ∠AEC=∠AQF $

$∴ ∠AEF=∠BQF. $

$∵ AE=AF， $

$∴ ∠AEF=∠AFE. $

$∴ ∠AFE=∠BQF.$

$又 ∵ ∠C=∠B， $

$∴ △CAF∽△BFQ； $

$∴ \frac {CF}{BQ} = \frac {AF}{FQ} ，$

$∴CF×FQ=AF×BQ.$

$证明：(1)∵AB是圆O的直径， $

$∴ ∠ACB=90°. $

$∵ BE⊥CD，$

$∴ ∠DEB=90°=∠ACB.$

$∵\widehat{BC}=\widehat{BC}$

$∴ ∠D=∠A，$

$∴ △DBE∽△ABC.$

$解：(2) 过点C作CG⊥AB，垂足为G.$

$∵ ∠ACB=90°，AC= \sqrt{5}\ \mathrm {BC}=2 \sqrt{5} ， $

$∴ AB= \sqrt{AC²+BC²} =5. $

$∵ CG⊥AB， $

$∴ ∠AGC=90°， $

$∴ ∠ACB=∠AGC. $

$∵ ∠A=∠A， $

$∴ △ACB∽△AGC， $

$∴ \frac {AC}{AG} = \frac {AB}{AC} ， $

$∴ AG= \frac {AC²}{AB} =\frac {(\sqrt{5})²}{5} =1. $

$∵ AF=2， $

$∴ FG=AG=1， $

$∴ AC=CF， $

$∴ ∠A=∠CFA. $

$∵ ∠CFA=∠BFD，∠A=∠D， $

$∴ ∠BFD=∠D，$

$∴ BD=BF=AB-AF=5-2=3. $

$∵ △DBE∽△ABC.$

$∴ \frac {BD}{BA}= \frac {DE}{AC} $

$ ∴\frac {3}{5} =\frac {DE}{\sqrt{5}} $

$∴ED=\frac {3\sqrt{5}}{5}$

解：∵四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似

∴四边形OA'B'C'∽四边形OABC

∵四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍

∴四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比为2∶1

∴OB'=2OB

∵点B坐标为(2，3)，B'在第一象限内

∴B'(4，6)

故答案为：(4，6)

$解：设AF=x，则AC=3x，$

$\because 四边形CDEF为正方形，$

$\therefore EF=CF=2x，EF// BC，$

$\therefore \triangle AEF\backsim \triangle ABC，$

$\therefore \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{1}{3}，$

$\therefore BC=6x，$

$在Rt\triangle ABC中，A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}，即{30}^{2}={(3x)}^{2}+{(6x)}^{2}，$

$解得{x}_{1}=2\sqrt{5}，{x}_{1}=-2\sqrt{5}（不合题意，舍去），$

$\therefore AC=6\sqrt{5}，BC=12\sqrt{5}，EF=4\sqrt{5}，$

$\therefore 剩余部分的面积=\dfrac{1}{2}\times 12\sqrt{5}\times 6\sqrt{5}-4\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}=100(c{m}^{2}).$

$故答案为：A$