解：$(1)$设参加此次研学活动的师生人数是$x，$原计划租用$y$辆$45$座客车
由题意得$\begin{cases}{45y+15=x}\\{60(y-3)=x}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=600}\\{y=13}\end{cases}$
答：参加此次研学活动的师生人数是$600，$原计划租用$13$辆$45$座客车。
$(2)$因为要使每名师生都有座位，所以若租用$45$座客车，则需要$13+1=14($辆)
此时租金为$200×14=2800($元)
若租用$60$座客车，则需要$13-3=10($辆)
此时租金为$300×10=3000($元)
$∵2800＜3000$
∴租用$14$辆$45$座客车更合算
