解：$(1)$解不等式①，得$x< 5$
解不等式②，得$x≥-2$
∴ 不等式组的解集为$-2≤x< 5$
将不等式组的解集在数轴上表示如图所示
此时不等式组的非正整数解$ -2、$$-1、$$0 $
$(2)$解不等式①，得$ x> - \frac {a}2$
解不等式②，得$x> - \frac {a}{2} +2$
∴ 原不等式组的解集为$x> - \frac {a}{2} +2$
∵ 不等式$x-5> 0$的解集是$x> 5$
∴$ - \frac {1}{2}\ \mathrm {a}+2≥5$
解得$a≤-6$
∴$ a$的取值范围是$a≤-6$
