解：$(1)$设$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$x $吨、$y$吨
根据题意，得$\begin{cases}{2x+y=10 } \\{x+2y=11} \end{cases} $ 解得$\begin{cases}{x=3}\\{y=4}\end{cases}$
答：$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$3$吨，$4$吨。
$(2)$根据题意，得$3a＋4b=31，$即$b= \frac {31-3a}{4}$
∵$a、$$b$都为正整数
∴$\begin{cases}{a=1 } \\{b=7} \end{cases} $或$\begin{cases}{a=5 } \\{b=4} \end{cases} $或$ \begin{cases}{a=9 } \\{b=1} \end{cases}$
∴租车方案分别为① 租用$A$型车$1$辆、$B$型车$7 $辆；②租用$A$型车$ 5$辆、$B$型车$4$辆；
③租用$A$型车$9$辆、$B$型车$1$辆
$(3)$方案①的费用为$100×1＋120×7=940($元）；方案②的费用为$ 100×5＋120×4=980($元)；
方案③的费用为$100×9＋120× 1=1020($元)
∵$940＜980＜1020$
∴方案①最省钱，即租用$A$型车$1$辆、$B$型车$7$辆最省钱，最少的租车费用为$940$元
