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解：$(1){2}^{2a}=({2}^{a})²=3²=9$

${2}^{c-b+a}={2}^{c}÷{2}^{b}×{2}^{a}=75÷5×3=45$

$(2)$∵${2}^{2b}=5²=25$

∴${2}^{a+2b}={2}^{a}×{2}^{2b}=3×25=75$

∵${2}^{c}=75$

∴${2}^{a+2b}={2}^{c}$

∴$a+2b=c$

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