解：根据购票的限制要求，当丙第一个购票时，丙显然选择$1、$$ 2、$$3、$$4$号，
此时甲、乙、丁三人的购票顺序可以分以下$6$种情况讨论
$(1)$甲、乙、丁，甲选择$5、$$7$号，乙选择$6、$$8、$$10$号，此时没有$5$个相邻的座位号；
$(2)$甲、丁、乙，甲选择$5、$$7$号，丁选择$6、$$ 8、$$10、$$12、$$14$号，
乙选择$9、$$11、$$13$号，满足条件；
$(3)$乙、甲、丁，乙选择$5、$$7、$$9$号，甲选择$6、$$8$号，此时没有$5$个相邻的座位号；
$(4)$乙、丁，甲，乙选择$5、$$7、$$9$号，丁选择$6、$$8、$$10、$$12、$$14$号，
甲选择$11、$$13$号，满足条件；
$(5)$丁、甲、乙，丁选择$5、$$7、$$9、$$11、$$ 13$号，甲选择$6、$$8$号，
乙选择$10、$$12、$$14$号，满足条件；
$(6)$丁、乙、甲，丁选择$5、$$7、$$9、$$11、$$13$号，乙选择$6、$$8、$$10$号，
甲选择$12、$$ 14$号，满足条件.
综上所述，满足条件的购票的先后顺序有$ 4$种，分别为“丙、甲、丁、乙”
或“丙、乙、丁、甲”或“丙、丁、甲、乙”或“丙、丁、乙、甲”
