解：$(2)$∵$∠C=90°，$$∠B=30°$
∴$∠CAB =60°$
∵$AF $平分$∠CAB$
∴$∠FAB=\frac {1}{2}∠CAB=30°$
①若$∠FAP=∠AFP=30°$
∵$∠APD$是$△AFP $的外角
∴$∠APD=∠FAP+∠AFP = 30°+ 30°= 60°$
②若$∠FAP=∠FPA = 30°$
则$∠APD= 180°-∠FPA = 150°$
③若$∠AFP=∠FPA$
则$∠AFP=∠FPA=\frac {1}{2}×(180°-30°)=75°$
∴$∠APD= 180°-∠FPA= 105°$
综上所述，$∠APD$的度数为$60°$或$150°$或$105°$
$(3) ∠FMN=∠FNM，$理由：
设$∠BMN=x$
∵$∠FNM$是$△BMN$的一个外角，$∠B=30°$
∴$∠FNM=∠B+∠BMN=30°+x$
又∵$∠AFM=2∠BMN$
∴$∠AFM=2x$
∴易得$∠MFN=120°-2x$
∴$∠FMN= 180°-∠MFN-∠FNM= 180°-(120°-2x)-(30°+x)=30°+x$
∴$∠FMN=∠FNM$
