解：$(2)①$∵$\frac {1}{4}×2(m+7+m+1)=m+4$
∴该正方形的边长为$m+4$
$②{S}_3$与${S}_1$的差是常数
${S}_3-{S}_1=(m+4)²-(m+1)(m+7)=m²+8m+16- (m²+ 8m +7)=9$
∴${S}_3$与${S}_1$的差是一个常数，这个常数是$9 $
$(3) $由题意，得${S}_1=(m+1)(m+7)=m²+ 8m+7$
${S}_2= (m+2)(m+4)=m²+6m+8$
$|{S}_1-{S}_2|=|2m-1|$
∵$m$为正整数
∴$2m-1>0$
∴$|{S}_1-{S}_2|=2m-1$
∴$0＜n＜|S_{1}-S_{2}|$
∴$0＜n＜2m-1$
由于满足上述不等式组的整数$n$有且只有$10$个
∴$10<2m-1≤11$
解得$\frac {11}{2}＜m≤6$
∴整数$m $的值为$6$
