解：$(1) $∵ 二次函数$y=a(x-1)^2+h$的图像与$x$轴交于点$A(-2，$$0)，$
与$y$轴交于点$C(0，$$4)$
∴$\begin{cases}{a(-2-1)^2+h=0}\\{a(0-1)^2+h=4}\end{cases}，$解得$ \begin{cases}{a=-\dfrac 12}\\{h=\dfrac 92}\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2} (x-1)^2+\frac {9}{2}=- \frac {1}{2} x^2+x+4 $
$(2)$令$y=0，$则$- \frac {1}{2} x^2+x+4=0$
解得$x_{1}=-2，$$x_{2}=4$
∴ 点$B$的坐标为$(4，$$0)$
∵$ E$是$BC$的中点
∴点$E$的坐标为$(2，$$2)$
设直线$AE$相应的函数表达式为$y=mx+n$
则$\begin{cases}{-2m+n=0}\\{2m+n=2}\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}{m=\dfrac {1}{2}}\\{n=1}\end{cases}$
∴ 直线$AE$相应的函数表达式为$y=\frac {1}{2} x+1$
联立方程组$ \begin{cases}{y=\dfrac {1}{2} x+1}\\{y=-\dfrac 12x^2+x+4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=3}\\{y=\dfrac 52}\end{cases}，$或$\begin{cases}{x=-2}\\{y=0}\end{cases}$
∴点$D$的坐标为$(3，$$\frac {5}{2} )$
