解：$ (1)$当$x=0$时，$ax²+ bx+c=3；$
当$x= 1$时，$ax²=1；$当$x=2$时，$ax²+bx+c= 3$
即$\begin{cases}{c=3 }\\{a=1} \\{4a+2b+c=3} \end{cases}$ 解得$\begin{cases}{a=1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{cases}$
$(2)①$在$x²-2x+3= 0$中
∵$b²-4ac=(-2)²-4×1×3= -8< 0$
∴不存在实数$x$使$ax²+bx+c=0$
②二次函数$y= x²-2x+3$的图像示意图如下
观察图像得出当$x<0$或$x> 2$时，$ax²+bx+c>3$
