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$证明： (1)因为MN⊥AM$

$所以∠AMB= 90°-∠NMC=∠MNC，$

$又∠B=∠C = 90°$

$所以△ABM∽△MCN$

$(2)由△ABM∽△MCN得$

$\frac {AM}{MN}=\frac {AB}{AC}=\frac {4}{4-x}$

$因为∠ABM=∠AMN=90°$

$当\frac {AB}{BM}=\frac {AM}{MN}时，△ABM∽△AMN$

$即\frac {4}{x}=\frac {4}{4-x} ， $

$解得x=2$

$解：因为正方形ABCD的边长为3$

$所以AB=BC=3，∠B=90°$

$因为CE=2BE，$

$所以BE=\frac {1}{3}BC = 1$

$设AN=x ，则BN=3 - x$

$因为点A经折叠后与点E重合，折痕为MN$

$所以MN垂直平分AE . $

$所以AN=EN=x$

$在Rt△BEN中，由勾股定理可得， EN²=BN²+BE²$

$因为EN=x，BN=3 - x， BE=1$

$所以x²=(3-x)²+1²$

$解得，x=\frac {5}{3}$

$所以AN=\frac {5}{3}$

$S_{△ANE}=\frac {1}{2}×AN×BE=\frac {5}{6}$

20cm

25cm

18cm

30cm

14400

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