证明$：(1)$由题意得$，CP=DQ，AM⊥MN，BN⊥MN，$
$CP⊥MN，DQ⊥MN$
在$△MPC$和$△NQD$中，
$\begin{cases}{CP=DQ }\\{∠MPC=∠NQD=90°}\\{MP=NQ} \end{cases}$
所以$△MPC≌△NQD(\mathrm {SAS})$
所以$∠ANM=∠BMN$
在$△ANM$和$△BMN$中
$\begin{cases}{∠ANM=∠BMN }\\{MN=MN}\\{∠AMN=∠BNM} \end{cases}$
所以$△ANM≌△BMN(\mathrm {ASA})$
所以$AM= BN$
$(2)$由题意得，$CP=DQ=1.6m ， AM=BN=9.6m ， PQ=12m$
因为$CP//BN，$
所以$△MPC∽△MNB$
所以$\frac {MP}{MN}=\frac {CP}{BN}$
因为$MP=xm，$$CP=1.6m，$$BN=9.6m$
所以$MN=6xm$
因为$PQ= MN-MP-NQ=12m$
所以$6x- x- x= 12$
解得，$x=3$
答:两个路灯之间的距离$MN= 18m$
$(3)$设他在路灯$AM$下的影长是$ym$
由题意得$，\frac {y}{1.6}=\frac {18+y}{9.6}$
解得$，y=3.6$
答:他在路灯$AM$下的影长是$3.6m$
