解$： (1)$因为$S_{△ABE}： S_{△ABC}=3：2$
所以${y}_{E}：{y}_{C}=3：2$
因为点$E$坐标为$(2，6)，$
所以点$C$坐标为$(0，4)$
因为$D$是$OC$中点
所以点$D$坐标为$(0 ， 2)。$
设直线$DE$的表达式为$y= kx +b，$
将$D(0 ， 2) ， E(2 ， 6)$代入，得
$\begin{cases}{2k+b=6 }\\{b=2} \end{cases}$
解得$k=2，b=2$
所以直线$DE$的表达式为$y=2x+2 ，$
所以点$A$的坐标为$(-1， 0)$
将$A(-1，0)，C(0，4)，$$E(2，6)$代入,得
$\begin{cases}{a-b+c=0 }\\{c=4}\\{4a+2b+c=6} \end{cases}$
解得$a=-1，b=3，c=4$
所以该二次函数的表达式为$y=-x²+3x+4$
$(2)\ \mathrm {BD}⊥AD ，$理由如下:
因为点$B$为二次函数$y=-x²+3x+4$与$x$轴的交点
所以$0= -x²+3x+4$
解得，$x_{1}=-1，$$x_{2}=4$
所以点$B$坐标为$(4 ， 0)$
因为$A(-1， 0)， B(4， 0)， D(0 ， 2)$
所以$AB= 5， AD=\sqrt{5}， BD= 2\sqrt{5}$
因为$AB²=AD²+BD²$
所以$BD⊥AD$
$(3)$存在,
因为$B(4，0)，C(0，4)$
所以直线$BC$的表达式为$y=-x+4$
因为直线$AD$的表达式为$y=2x+2$
所以$-x+4=2x+2 ，$
解得$x=\frac {2}{3}，$
点$M$坐标为$(\frac {2}{3}，\frac {10}{3})$
因为$△ANB∽△ABM$
所以$\frac {AN}{AB}=\frac {AB}{AM}$
所以$\frac {AN}{5}=\frac {5}{\frac {5}{3}\sqrt{5}}$
所以$AN= 3\sqrt{5}$
设$N(t ， 2t+2)$
$AN=\sqrt{(t+1)²+ (2t+2)²}= 3\sqrt{5}$
解得$，t_{1} =2，t_{2}= -4$
因为$2t+2>0$
所以$t=2$
所以点$N$的坐标为$(2 ， 6)$
