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√

$8\ \mathrm {cm}，10\ \mathrm {cm}，12\ \mathrm {cm}$

$4.5×{10}^4$

$1.2×{10}^8$

$证明： (1)因为BD、CE是△ABC的两条高$

$所以∠AEC=∠ADB=90°$

$因为∠CAE=∠BAD$

$所以△ACE∽△ABD$

$所以\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}$

$(2)因为\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}，∠EAD=∠CAB$

$所以△AED∽△ACB$

$证明： (1)因为PE//DQ$

$所以∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD$

$所以△APE∽△ADQ$

$(2)由(1)△APE∽△ADQ$

$同理可得△PDF∽△ADQ$

$相似比分别为\frac {x}{3}，\frac {3-x}{3}$

$所以面积比分别为\frac {x²}{9}.\frac {(3-x)²}{9}$

$S_{△ADQ} =\frac {1}{2}×2×3=3$

$所以S_{△APE}=\frac {x²}{3}，S_{△PDF}=\frac {(3-x)²}{3}$

$所以S_{平行四边形PEQF}= 2S= 3-\frac {x²}{3}-\frac {(3-x)²}{3}$

$所以S= -\frac {1}{3}x²+x$

$S= -\frac {1}{3}(x-\frac {3}{2})²+\frac {3}{4}$

$当x=\frac {3}{2}即AP的长为\frac {3}{2}时， S取得最大值，最大值是\frac {3}{4}$