解:延长$BA ， PQ$交于点$C ，$如图所示
由题意得，
$∠C=90° ，∠APC=30°，∠BQC=45°$
$PQ=5m， AB=3m$
设无人机飞行的高度为$xm ，$即$BC=xm$
在$Rt△BCQ $中, 因为$BC=xm ，∠BQC=45°$
所以$QC=BC=xm$
因为$PQ= 5m ， AB=3m$
所以$PC=(x + 5)m， AC=(x - 3)m$
在$Rt△APC$中,
因为$PC=(x + 5)m ， AC=(x - 3)m ，∠APC=30°$
所以$PC.tan_{30}°=AC，$
即$\frac {\sqrt{3}}{3}(x+5)=x-3，$
解得，$x=4\sqrt{3}+7$
答:无人机飞行的高度为$(4\sqrt{3}+ 7)$米。
