解：$(1)$由二次函数$y=-x²+bx+c $的图像经过点$A(-1，$$0)，$$C(2，$$3)$
$\begin{cases}{-1-b+c=0 } \\{-4+2b+c=3} \end{cases}$ 解得$\begin{cases}{b=2}\\{c=3}\end{cases}$
∴函数表达式为$y= -x²+ 2x +3$
由直线$AC$经过点$A(-1，$$0)，$$C(2，$$3)$
可得函数表达式为$y=x+ 1$
$(2)$由$y= -x²+2x+ 3，$得$N(0，$$3)，$$D(1，$$4)$
点$D$关于过点$(3，$$0)$且与$y$轴平行的直线的对称点$D'$的坐标为$(5，$$4)$
连接$ND'，$则$ND'$的函数表达式为$y=\frac {1}{5}x+ 3$
$ND'$交一次函数$x = 3$的图像于点$M(3，$$\frac {18}{5})$
即$m=\frac {18}{5}，$此时$MN+MD$的值最小
$(3)$二次函数$y= -x²+2x+3$的图像的对称轴为过点$(1，$$0)$且与$y$轴平行的直线
因此$B(1，$$2)，$$D(1，$$4)，$$BD= 2$
若以$B、$$D、$$E、$$F $为顶点的四边形是平行四边形，且$EF//BD$
则$EF= BD$
设点$E、$$F $的坐标分别为$(t，$$t+1)、$$(t，$$-t²+2t+3)$
则$|(-t²+2t+3)-(t+1)|=2$
解得${t}_1= 0，$${t}_2= 1($舍去)，${t}_3=\frac {1+\sqrt{17}}{2}，$${t}_4=\frac {1-\sqrt{17}}{2} $
∴${E}_1(0，$$1)，$${E}_2(\frac {1+\sqrt{17}}{2}，$$\frac {3+\sqrt{17}}{2})，$${E}_3(\frac {1-\sqrt{17}}{2}，$$\frac {3-\sqrt{17}}{2})$
$(4)$过点$P $作$PQ//y$轴，交$AC$于点$Q$
设点$P $的坐标为$(a，$$-a²+ 2a+ 3)，$则点$Q $的坐标为$(a，$$a + 1)$
∵点$P $在$AC$上方
∴$PQ=(-a²+2a+3)- (a+1)= -a²+a+2$
∴$S_{△APC}= S_{△APQ}+ S_{△CPQ}$
$=\frac {1}{2}(-a²+a+2) · [2-(-1)]$
$=-\frac {3}{2}(a-\frac {1}{2})²+\frac {27}{8}$
∴当$a=\frac {1}{2}$时，$S_{△APC}$的最大值为$\frac {27}{8}$
