第120页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

证明：$ (1)$∵$AB=AC，$$AD$是边$BC$的中线

∴$∠B=∠C，$$AD⊥BC$

∵$DE⊥AB$

∴$∠ADC=∠BED=90°$

又∵$∠B=∠C$

∴$△BDE∽△CAD$

$(2)$∵$AB=AC，$$AD$是边$BC$的中线

∴$AC=13，$$BD=CD=5$

∵$△BDE∽△CAD$

∴$\frac {BE}{CD}=\frac {BD}{AC}$

∴$\frac {BE}{5}=\frac {5}{13}$

∴$BE =\frac {25}{13}$

∴$DE=\sqrt{BD² - BE²}=\frac {60}{13}$

解：设正方形的边长为$2a，$易得$ED=a，$$CE=\sqrt{5}a$

过点$H$作$MN//AD，$分别交$AB，$$CD$于点$M，$$N$

则$△CNH∽△CDE$

∴$\frac {NH}{ED}=\frac {CH}{CE}$

∵$CH= 2a，$$ED=a，$$CE=\sqrt{5}a$

∴$NH=\frac {2\sqrt{5}}{5}a$

∴$MH= 2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a$

由上述可得，$∠HMG =∠CNH=∠CHG= 90°$

得$∠MHG=∠NCH，$$△HMG∽△CNH$

∴$△HMG∽△CDE$

∴$\frac {HG}{EC}=\frac {MH}{CD}$

则$HG=\frac {\sqrt{5}}{2}(2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a)=(\sqrt{5}-1)a$

∴$BG= HG=\frac {\sqrt{5}-1}{2}AB$

∴点$G $为$AB$的黄金分割点