解：$ (1)$∵点$D$为$AB$的中点
∴$BD= AD= 30m$
∵$FM//CG$
∴$∠BDF=∠BAC= 30° $
$BF=sin 30°×BD=15m$
$FD= cos 30°×BD= 15\sqrt{3}m$
若$∠BEF=45°，$$EF=BF= 15m$
∴当$∠BEF≤45°，$$EF≥15m$
∴$DE≤11.0m$
$(2)$过点$D$作$DP⊥CG，$垂足为点$P$
∵$∠DAC=30°$
∴$DP=sin 30°×AD=15m，$
$AP= cos 30°×AD =15\sqrt{3}m$
$DM=AP+AG=(15\sqrt{3}+27)m$
∵$∠HDM=30°$
∴$HM=tan 30°×DM≈30.6m$
∴$HG= HM+ MG=45.6m$
