证明：$(1)$连接$DE、$$DF，$如图①
当$t=2$时，$DH=AH=4，$则$H$是$AD$的中点
∵$EF⊥AD$
∴$EF $为$AD$的垂直平分线
∴$AE= DE，$$AF= DF$
∵$AB= AC，$$AD⊥BC，$∴$∠B=∠C$
∴$EF//BC$
∴$∠AEF=∠B，$$∠AFE=∠C$
∴$∠AEF=∠AFE$
∴$AE= AF$
∴$AE=AF= DE= DF$
∴四边形$AEDF $为菱形
$(2)$如图②由$(1)$知$EF//BC$
∴$△AEF∽△ABC$
∴$\frac {EF}{BC}=\frac {AH}{AD}，$即$\frac {EF}{10}=\frac {8-2t}{8}$
解得$EF= 10-\frac {5t}{2}$
$S_{△PEF}=\frac {1}{2}EF×DH=\frac {1}{2}(10-\frac {5}{2}t)×2t=-\frac {5}{2}t²+10t=-\frac {5}{2}(t-2)²+10$
∴当$t= 2s $时，$S_{△PEF} $取最大值，最大值为$10，$此时$BP=3t=6(\ \mathrm {cm})$
$(3)$存在，理由如下：
①若点$E$为直角顶点，如图③
此时$PE//AD，$$PE= DH= 2t，$$BP= 3t$
∵$PE//AD$
∴$\frac {PE}{AD}=\frac {BP}{BD}，$即$\frac {2t}{8}=\frac {2t}{5}$
此比例式不成立，故此种情形不存在
②若点$F $为直角项点，如图④
此时$PE//AD，$$PF=DH= 2t，$$BP= 3t，$$CP= 10- 3t$
∵$PF//AD$
∴$\frac {PF}{AD}=\frac {CP}{CD}，$即$\frac {2t}{8}=\frac {10-3t}{5}$
解得$t=\frac {40}{17}$
③若点$P $为直角顶点，如图⑤
过点$E$作$EM⊥BC，$垂足为$M，$过点$F $作$FN⊥BC，$垂足为$N$
则$EM = FN = DH= 2t，$$EM//FN//AD$
∵$EM//AD$
∴$\frac {EM}{AD}=\frac {BM}{BD}，$即$\frac {2t}{8}=\frac {BM}{5}$
解得$BM=\frac {5}{4}t$
∴$PM=BP-BM=3t-\frac {5}{4}t=\frac {7}{4}t$
在$Rt△EMP $中，由勾股定理，
得$PE²=EM²+PM²= (2t)²+(\frac {7}{4}t)²=\frac {113}{16}t²$
∵$FN//AD$
∴$\frac {FN}{AD}=\frac {CN}{CD}，$即$\frac {2t}{8}=\frac {CN}{5}$
解得$CN=\frac {5}{4}t$
∴$PN= BC- BP- CN= 10- 3t-\frac {5}{4}t= 10-\frac {17}{4}t$
在$Rt△FNP $中，由勾股定理得$PF²=FN²+PN²= (2t)²+(10-\frac {17}{4}t)²=\frac {353}{16}t²-85t+100$
在$Rt△PEF $中，由勾股定理，得$EF²=PE²+PF²$
即$(10-\frac {5}{2}t)²=(\frac {113}{16}t²)+(\frac {353}{16}t²-85t+100)$
化简得$\frac {233}{8}t²-35t=0$
解得$t= \frac {280}{233}$或$t=0 ($舍去)
∴$t=\frac {280}{233}$
综上所述，当$t=\frac {40}{17}s $或$t=\frac {280}{233}s $时，$△PEF $为直角三角形
