第13页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

(0，2)

(2，-2)

4

-1＜m＜5

解：$(1)$∵$y=x^2+(a-1)x+a=x^2-x+a(x+1)$

将$x=-1$代入$y=x^2-x+a(x+1)$得$y=2$

∴抛物线经过定点$P(-1，$$2)$

$(2)$∵$y=x^2+(a-1)x+a= (x+\frac {a-1}2)^2+\frac {4a-(a-1)^2}{4} $

∴$x_D=-\frac {a-1}2，$$y_D=\frac {4a-(a-1)^2}4$

∵$△OPD$的面积被$x$轴平分

∴$y_D=-y_P，$即$\frac {4a-(a-1)^2}{4}=-2$

解得$a_{1}=7，$$a_{2}=-1$

当$a=7$时，点$D$的坐标为$(-3，$$-2)$

当$a=-1$时，点$D$的坐标为$(1，$$-2)，$

点$D$的坐标为$(1，$$-2)$时，点$P、$$O、$$D$三点共线，不存在$△OPD，$不满足题意，舍去

∴点$D$的坐标为$(-3，$$-2)$

B

解：$(1)$把$(-1，$$m)、$$(2，$$n)$代入$y=x^2+bx-3，$得$m=-b-2，$$n=1+2b$

∵$m=n$

∴$-b-2=1+2b$

∴$b=-1 $

$(2)$∵$y=x^2-x-3=(x-\frac 12)^2 -\frac {13}{4}$

∴当$x=\frac {1}{2}$时，$y=-\frac {13}{4}，$当$x=-3$时，$y=9，$当$x=2$时，$y=-1$

∴当$-3< x< 2$时，$y$的取值范围为$- \frac {13}{4} ≤y< 9 $

$(3)$二次函数$y=x^2+bx-3$的对称轴为直线$x=- \frac {b}{2}$

①当$- \frac {b}{2} ≤-1，$即$b≥2$时，$x=-1$的函数值最小，$y$最小$=-b-2=-5，$解得$b=3$

∴$y=x^2+3x-3$

∴当$x=-1$时，$m=-5；$当$x=2$时，$n=7$

∴$m+n=2$

②当$-1< - \frac {b}{2} < 2，$即$-4< b< 2$时

$x=- \frac {b}{2} $的函数值最小，$y$最小$=- \frac {1}{4}\ \mathrm {b}^2-3=-5，$解得$b=2 \sqrt{2} ($舍去)或$b=-2 \sqrt{2}$

∴$y=x^2-2 \sqrt{2} x-3$

∴当$x=-1$时，$m=2 \sqrt{2} -2；$当$x=2$时，$n=1-4 \sqrt{2}$

∴$m+n=-2 \sqrt{2} -1$

③当$- \frac {b}{2} ≥2$即$b≤-4$时，$x=2$的函数值最小，$y$最小$=2b+1=-5，$解得$b=-3，$不满足$b≤-4$

∴此种情况不存在

综上所述，$m+n$的值为$-2 \sqrt{2} -1$或$2$