第29页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$15×\frac {\sqrt 5-1}2≈9.27\ \mathrm {m}$

∴应该站在离$A$点$9.27\ \mathrm {m}$处，或距$B$点$9.27\ \mathrm {m}$处

解：$(1)$∵点$P$是线段$AB$的黄金分割点，$AP＜BP$

∴$BP=\frac {\sqrt {5}-1}2×AB=\frac {\sqrt 5-1}2=\sqrt 5-1$

∴$AP=AB-BP=2-(\sqrt {5}-1)=3-\sqrt {5}$

$(2)$∵$QP{平分}∠AQB$

∴$P$到$AQ、$$BQ$的距离相等

∴$\frac {S_{△PAQ}}{S_{△PBQ}}=\frac {AQ}{BQ}=\frac {AP}{PB}$

又由$(1)AP=BQ=3-\sqrt {5}$

∵$AB=2$

∴$PB=AB-AP=2-(3-\sqrt {5})=\sqrt {5}-1$

∴$AQ=\frac {AP·BQ}{PB}=\frac {(3-\sqrt 5)^2}{\sqrt 5-1}=2\sqrt {5}-4$

解：$(1)$由题意可得$ \frac {AB}{AF}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$

又∵$AF=1$

∴$AB=\frac {\sqrt{5}-1}{2} $

$(2)$矩形$DCGF $是黄金矩形

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=DC=AD$

又∵$\frac {AB}{AF}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$

∴$\frac {AD}{AF}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}，$即$D$是线段$AF $的黄金分割点

∴$\frac {FD}{AD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$

∴$\frac {FD}{CD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$

∴矩形$DCGF $是黄金矩形

$(3)$若图③中最大黄金矩形的长为$a，$

由题意可得，最小黄金矩形的长是$(\frac {\sqrt{5}-1}{2})^6a$