第37页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

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解：$(1)$如图，$D$是所求作的点

$ (2) $∵$ AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}，$$BC=5，$$BD=1$

∴$ \frac {BD}{AB}=\frac {1}{\sqrt 5}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$$\frac {AB}{BC}=\frac {\sqrt{5}}{5}$ ∴$\frac {BD}{AB}= \frac {AB}{BC}$

∵$ ∠DBA=∠ABC $

∴$ △ABD∽△CBA$

$(1)$解：∵$AE=3，$$AC=12$

∴$CE=AC-AE=12-3=9$

∵$AB//CD$

∴$△CDE∽△ABE$

∴$\frac {CD}{AB}=\frac {CE}{AE} $

∴$CD=\frac {AB·CE}{AE}= \frac {6×9}{3}=18$

$ (2)$证明：∵$\frac {AE}{AB}=\frac {3}{6}= \frac {1}{2} ，$$\frac {AB}{AC}= \frac {6}{12}= \frac {1}{2}$

∴$ \frac {AE}{AB}= \frac {AB}{AC}$

∵$∠A=∠A$

∴$△ABE∽△ACB$

证明：$(1)$∵$AB=AC$

∴$∠B=∠C$

∵$∠BDE=180°-∠B-∠DEB，$$∠CEF=180°-∠DEF -∠DEB，$$∠DEF=∠B$

∴$∠BDE=∠CEF$

∴$△BDE∽△CEF $

$(2)$∵$△BDE∽△CEF$

∴$\frac {BE}{CF} =\frac {DE}{EF}$

∵$ E$是$BC$的中点

∴$BE=CE$

∴$\frac {CE}{CF}= \frac {DE}{EF}$

∵$∠DEF=∠B=∠C$

∴$△DEF∽△ECF$

∴$∠DFE=∠CFE$

∴$FE$平分$∠DFC$

证明：$(1)$∵$AB=AC$

∴$∠B=∠C$

∵$CF=BE$

∴$CF-EF=BE-EF，$即$CE=BF$

在$△ACE$和$△ABF $中

$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠C=∠B}\\{CE=BF}\end{cases}$

∴$△ACE≌△ABF(\mathrm {SAS})$

∴$∠CAE=∠BAF$

$ (2)$∵$△ACE≌△ABF$

∴$AE=AF，$$∠CAE=∠BAF$

∵$AE^2=AQ · AB，$$AC=AB$

∴$\frac {AE}{AQ}=\frac {AC}{AF}$

∴$△ACE∽△AFQ$

∴$∠AEC=∠AQF$

∴$∠AEF=∠BQF$

∵$AE=AF$

∴$∠AEF=∠AFE$

∴$∠BQF=∠AFE$

∵$∠B=∠C$

∴$△CAF∽△BFQ$

∴$\frac {CF}{BQ}= \frac {AF}{FQ}，$即$CF·FQ=AF·BQ$