第15页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵$y=a(x+1)^2-4(a≠0)$经过点$A(1，$$0)$

∴$4a-4=0$

∴$a=1$

∴抛物线$L_{1}$对应的函数表达式为$y=x^2+2x-3$

$ (2)$∵$y=(x+1)^2-4$

∴抛物线的顶点为$(-1，$$-4)$

将抛物线$L_{1} $向上平移$m(m> 0)$个单位长度得到抛物线$L_{2}，$则抛物线$L_{2}$的顶点为$(-1，$$-4+m)$

而点$(-1，$$-4+m)$关于原点的对称点为$(1，$$4-m)$

把$(1，$$4-m)$代入$y=x^2+2x-3，$得$1+2-3=4-m$

∴$m=4 $

$(3)$抛物线$L_{1} $向右平移$n(n> 0)$个单位长度得到抛物线$L_{3}$对应的函数表达式为$y=(x-n+1)^2-4$

∵点$B(1，$$y_{1})、$$C(3，$$y_{2})$在抛物线$L_{3}$上

∴$y_{1}=(2-n)^2-4，$$y_{2}=(4-n)^2-4$

∵$y_{1}> y_{2}$

∴$(2-n)^2-4> (4-n)^2-4$

解得$n> 3$

∴$n$的取值范围为$n> 3$

解：$(1)$∵抛物线$y=\frac {1}{2} x^2+bx+c $经过$A(-2，$$0)、$$B(0，$$-4)$两点

∴$\begin{cases}{\dfrac {1}{2} ×4-2b+c=0}\\{c=-4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{b=-1}\\{c=-4}\end{cases}$

∴抛物线对应的函数表达式为$y=\frac {1}{2} x^2-x-4 $

$(2)$∵点$D(m，$$n)$为抛物线上第二象限内的点

∴$n=\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-m-4$

∵点$C(a，$$-4)$在$y$轴右侧抛物线上

∴$\frac {1}{2}\ \mathrm {a}^2-a-4=-4$

解得$a_{1}=2，$$a_{2}=0($舍去)

∴$C(2，$$-4)$

∴$F(2，$$n)$

∴$CF=n+4=\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-m-4+4=\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-m，$$DF=2-m$

∵$CF+DF=18$

∴$\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-m+2-m=18，$即$ \frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-2m-16=0$

解得$m_{1}=-4，$$m_{2}=8$

∵点$D(m，$$n)$为抛物线上第二象限内的点

∴$m=-4$

解：$(1)$依题意，得$\begin{cases}{c=-1}\\{ 1+b+c=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{b=2}\\{c=-1}\end{cases}$

∴该函数的表达式为$y=x^2+2x-1$

∵$y=x^2+2x-1=(x+1)^2-2$

∴该函数图像的顶点坐标为$(-1，$$-2)$

$(2)$∵在函数$y=x^2+bx+c $中，二次项系数为$1，$该函数图像的顶点坐标为$(m，$$k)$

设抛物线对应的函数表达式为$y=(x-m)^2+k$

∵$y=(x-m)^2+k$的图像经过另一点$(k，$$m)$

∴$m=(k-m)^2+k$

∴$m-k=(m-k)^2，$解得$m-k=0$或$m-k=1$

$(3)$∵函数$y=x^2+bx+c $的图像经过$A(x_{1}，$$y_{1})、$$B(x_{1}-t，$$y_{2})、$$C(x_{1}-2t，$$y_{3})$三个不同点

∴$y_{1}=x_{1}^2+ bx_{1}+c，$$t≠0，$$y_{2}=(x_{1} -t)^2+b(x_{1}-t)+c=x_{1}^2 -2 x_{1}t +t^2+ bx_{1} - bt +c，$

$y_{3}=(x_{1} -2t)^2+b(x_{1} -2t)+c=x_{1}^2-4x_{1}t +4t^2+ bx_{1} -2\ \mathrm {bt} +c$

∴$M=y_{2}-y_{1}=x_{1}^2-2x_{1}t +t^2+ bx_{1} - bt +c-(x_{1}^2+ bx_{1}+c)=-2x_{1}t +t^2- bt，$

$N= y_{3} -y_{2}=x_{1}^2-4x_{1}t +4t^2+ bx_{1}-2\ \mathrm {bt} + c-(x_{1}^2-2x_{1}t +t^2+ bx_{1} - bt +c)=-2 x_{1}t +3t^2- bt$

$N-M=-2 x_{1}t +3t^2- bt -(-2 x_{1}t +t^2-bt)=2t^2> 0$

∴$M< N$