第45页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：延长$AF ，$交$DE$于点$G$

∵$BC//ED$

∴$△ABC∽△ADE$

∴$\frac {AF}{AG}=\frac {BC}{DE}$

又∵$BC=10$米，$AF=3，$$FG=12$米，

∴$AG=AF+FG=15$米

∴$\frac {3}{15}=\frac {10}{DE}$

∴$DE=50$米

$50÷2=25，$$25+1=26($棵)

答：$DE$处共有$26$棵树。

$(1)$证明：∵$AB//DC$

∴$∠ABD=∠BDC，$$∠ABC+∠C=180°$

∵$∠ABC+∠ADB=180°$

∴$∠C=∠ADB$

∴$△ABD∽△BDC$

$(2)$解：∵$△ABD∽△BDC，$$AE$平分$∠DAB，$$BF{平分}∠DBC，$$BF=2AE$

∴$\frac {S_{△ABD}}{S_{△BDC}}=(\frac {AE}{BF})^2=(\frac {AE}{2AE})^2=(\frac {1}{2})^2=\frac {1}{4}$

∵$S_{△ABD}=3$

∴$S_{△BDC}=4S_{△ABD}=12$

解：$(1)$∵四边形$EFGH$是正方形

∴$EH//BC$

∴$∠AEH=∠B，$$∠AHE=∠C$

∴$△AEH∽△ABC$

$(2)$如图，设$AD$与$EH$交于点$M$

∵$∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°$

∴四边形$EFDM$是矩形

∴$EF=DM$

设正方形$EFGH$的边长为$x\ \mathrm {cm}，$则$DM=x，$$AM=30-x$

∵$△AEH∽△ABC$

∴$\frac {EH}{BC}=\frac {AM}{AD}，$即$\frac {x}{40}=\frac {30-x}{30}$

解得$x=\frac {120}{7}$

∴正方形$EFGH$的边长为$\frac {120}{7}\ \mathrm {cm}$

解：$(1)$如图，∵立杆$AB、$$CD$相交于点$O$

∴$∠AOC=∠EOF$

又∵$\frac {OA}{OE}=\frac {OC}{OF}=\frac {51}{34}=\frac {3}{2}$

∵$△AOC∽△EOF$

∴$∠CAO=∠OEF$

∴$AC//EF$

$ (2) $如图，过点$A$作$AM⊥BD$于点$M，$过点$O$作$ON⊥EF $于点$N$

∵$OE=OF=34\ \mathrm {cm}$

∴$△OEF $是等腰三角形

∴$∠OEF=\frac {1}{2} (180°-∠EOF)$

∵$ON⊥EF，$$EF=32\ \mathrm {cm}$

∴$ON$是边$EF $上的中线

∴$EN=16\ \mathrm {cm}$

在$Rt△OEN$中，根据勾股定理，可得$ON=\sqrt{OE^2-EN^2}=\sqrt{34^2-16°}=30(\ \mathrm {cm})$

∵$ON⊥EF，$$AM⊥BD$

∴$∠ONE=∠AMB=90°$

∵$OA=OC，$$AB=CD$

∴$OB=OD$

∴$∠OBD=\frac {1}{2} (180°-∠BOD)$

∴$∠OBD=∠OEF$

∴$EF//BD$

∴$AM⊥EF$

∴$ON//AM$

∴$∠EON=∠BAM$

∴$△EON∽△BAM$

∴$\frac {OE}{AB}=\frac {ON}{AM}，$即$ \frac {34}{136}=\frac {30}{AM}$

解得$AM=120\ \mathrm {cm}$

∴，利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于$120\ \mathrm {cm}$时，连衣裙才不会拖在地面上