第71页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵山坡②的坡度$i=1：1$

∴$CN=BN$

∴$\angle BCN=45°$

∴$\angle ACB=180°-30°-45°=105°$

$(2)$在$Rt\triangle ACM$中，$\angle AMC=90°，$$\angle ACM=30°，$$AM=0.6$千米

∴$AC=2AM=1.2$千米

在$Rt\triangle BCN$中，$\angle BNC=90°，$$\angle BCN=45°，$$CN=\sqrt{2}$千米

则$BC=\frac {CN}{cos∠BCN}=2($千米)

∴该登山运动爱好者走过的路程为：$1.2+2=3.2($千米)

答：该登山运动爱好者走过的路程为$3.2$千米。

解：过点$E$作$EG⊥BC，$垂足为$G$

当$∠EBG=45°$时，$AE$有最小值

由题意得：$AD=EG，$$AE=DG$

在$Rt△ABD$中，$AB=30$米，$∠ABD=60°$

∴$AD=AB · sin 60°=30×\frac {\sqrt {3}}2=15\sqrt 3($米)

$BD=AB · cos 60°=30×\frac {1}{2}=15($米)

∴$AD=EG=15\sqrt {3}$米

在$Rt△EBG $中，$∠EBG=45°$

∴$BG=\frac {EG}{tan 45°}=15\sqrt {3}($米)

∴$AE=DG=BG-BD=(15\sqrt {3}-15)$米

∴$AE$至少是$(15\sqrt {3}-15)$米

解：$(1)$设水平移动了$x\ \mathrm {m}$

∵$i=1：$$3$

∴$\frac {0.5}{x}=\frac {1}{3}$

解得：$x=1.5$

∴货物从如图所示的位置升高$0.5m，$水平移动了$1.5m$

$(2)$能达到目的，理由如下：

当重心$G$落在直线$CD$上时，过点$E$作货厢底部的垂线于$H，$交$BF$于$I，$

过点$G{作}GT⊥BF{于}T$

此时点$E$到货厢底部的垂线最长，$GT=FT=\frac {1}{2}EF=1(\mathrm {m})$

∵货厢底部与地面平行

∴$EH//CD$

∴$∠HIT=∠ABD$

∵$∠BDA=∠IHB=90°$

∴$∠IBH=∠BAD$

∵$∠BIH=∠EIF，$$∠IHB=∠EFI=90°$

∴$∠FEI=∠IBH=∠BAD$

∵$tan∠BAD=\frac {1}{3}$

∴$\frac {FI}{EF}=\frac {1}{3}$

∴$FI=\frac {1}{3}EF=\frac {2}{3}(\mathrm {m})$

∴$EI=\sqrt {EF^2+FI^2}=\sqrt {2^2+(\frac {2}{3})^2}=\frac {2\sqrt {10}}3(\mathrm {m})$

∵$∠ABD=∠GBT，$$∠BDA=∠GTB=90°$

∴$∠BGT=∠BAD$

∴$\frac {BT}{GT}=\frac {1}{3}$

∴$BT=\frac {1}{3}GT=\frac {1}{3}(\mathrm {m})$

∴$BF=FT+BT=1+\frac {1}{3}=\frac {4}{3}(\mathrm {m})$

∴$BI=BF-FI=\frac {4}{3}-\frac {2}{3}=\frac {2}{3}(\mathrm {m})$

∵$\frac {IH}{BH}=\frac {1}{3}$

∴$IH^2+(3IH)^2=BI^2$

∴$10IH^2=(\frac {2}{3})^2$

∴$IH=\frac {\sqrt {10}}{15} (\mathrm {m})$

∴$EH=EI+IH=\frac {2\sqrt {10}}3+\frac {\sqrt {10}}{15}=\frac {11\sqrt {10}}{15}(\mathrm {m})$

∵$\frac {11}{15}\sqrt {10}＜2.5$

∴货物的$E$点碰不到货厢顶部

∴工人师傅能达到目的