解：$(2)$将$P (\frac {\sqrt 3}{2}，$$\frac {3}{2} )、$$A(\sqrt{3}，$$0)$两点的坐标代入$y=- \frac {4}{3} x^2+ bx+c$中
可得$\begin{cases}{-\dfrac 43×\dfrac 34+\dfrac {\sqrt 3}2b+c=\dfrac 32}\\{ \dfrac {4}{3} ×3+ \sqrt{3}\ \mathrm {b}+c=0}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=- \frac {4}{3} x^2+sqrt{3} x+1$
将$x=0$代入抛物线表达式，得$y=1$
∴点$C(0，$$1)$在此抛物线上
$(3)$假设存在这样的点$M，$使得四边形$MCAP $的面积最大
∵$△ACP $的面积为定值
∴要使四边形$MCAP $的面积最大，只需使$△PCM$的面积最大
如图，连接$MC、$$MP，$过点$M$作$MF⊥x$轴分别交$CP、$$CB$和$x$轴于点$E、$$N、$$F，$
过点$P $作$PH⊥x$轴交$CB$于点$G，$交$x$轴于点$H$
$S_{△CMP}=S_{△CME}+S_{△PME}=\frac {1}{2}\ \mathrm {ME} · CN+ \frac {1}{2}\ \mathrm {ME} · NG=\frac {1}{2}ME · CG= \frac {\sqrt 3}4ME$
设$M (x_0，$$-\frac 43x^2_0+\sqrt 3x_0+1)$
∵$∠ECN=30°，$$CN=x_{0}$
∴$EN= \frac {\sqrt 3}3x_{0}$
∴$EF=EN+NF=\frac {\sqrt{3}}{3} x_{0}+1$
∴$ME=MF-EF=- \frac {4}{3} x^2_0+ \frac {2\sqrt{3}}{3} x_{0}$
∴$S_{△CMP}=- \frac {\sqrt{3}}{3} x^2_0+ \frac {1}{2} x_0=-\frac {\sqrt{3}}{3}(x_{0}- \frac {\sqrt{3}}{4})^2+ \frac {\sqrt{3}}{16}$
∵$a=-\frac {\sqrt 3}3< 0$
∴$S_{△CMP} $有最大值
∴当$x_{0}=\frac {\sqrt{3}}{4} $时，$S_{△CMP} $的最大值是$ \frac {\sqrt{3}}{16}$
∵$S_{四边形MCAP}=S_{△PCM}+S_{△ACP}=S_{△PCM}+S_{△ACO}$
∴四边形$MCAP $的面积的最大值为$ \frac {9\sqrt{3}}{16}$
此时点$M$的坐标为$ (\frac {\sqrt{3}}{4} ，$$\frac {3}{2} ) $
∴存在这样的点$M(\frac {\sqrt 3}4，$$\frac 32)，$使得四边形$MCAP $的面积最大，其最大值为$ \frac {9\sqrt{3}}{16}$
