第102页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵抛物线$C：$$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$

∴抛物线的顶点为$Q(6，$$4)$

∴抛物线的对称轴为直线$x=6，$$y$的最大值为$4$

当$y=3$时，$3=-(x-6)^2+4$

∴$x=5$或$7$

∵点$P$在对称轴的右侧

∴$P(7，$$3)$

∴$a=7$

$(2)$∵平移后的抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2$

∴平移后的顶点$Q'(3，$$0)$

∵平移前抛物线的顶点$Q(6，$$4)$

∴点$P'$移动的最短路程$=QQ'=\sqrt {3^2+4^2}=5$

解：$(1)$∵点$A$的坐标是$(-3，$$0)，$点$B$的坐标是$(0，$$4)，$点$C$为$OB$中点

∴$OA=3，$$OB=4$

∴$BC=2$

将$△ABC$绕着点$B$逆时针旋转$90°$得到$△A'BC'$

∴$C'(2，$$4)$

∵反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象经过点$C'$

∴$k=2×4=8$

∴该反比例函数的表达式为$y=\frac {8}{x}$

$(2)$作$A'H⊥y$轴于$H$

∵$∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°$

∴$∠ABO+∠A'BH=90°，$$∠ABO+∠BAO=90°$

∴$∠BAO=∠A'BH$

∵$BA=BA'$

∴$△AOB≌△BHA'(\mathrm {AAS})$

∴$OA=BH，$$OB=A'H$

∵$OA=3，$$OB=4$

∴$BH=OA=3，$$A'H=OB=4$

∴$OH=1$

∴$A'(4，$$1)$

设一次函数的解析式为$y=ax+b$

把$A(-3，$$0)，$$A'(4，$$1)$代入得$\begin{cases}{-3a+b=0}\\{4a+b=1}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=\dfrac {1}{7}}\\{b=\dfrac {3}{7}}\end{cases}$

∴该一次函数的表达式为$y=\frac {1}{7}x+\frac {3}{7}$

解：$(1)$以$C$为圆心，$CM$长为半径画圆，

连接$CN$交$DE$于$M_1，$延长$NC$交圆于$M_2$

∵$△ACB$是等腰直角三角形，$N$是$AB$中点

∴$CN$平分$∠ACB，$$CN=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×4=2$

∵$△DCE$是等腰直角三角形，$M_1$是$DE$中点

∴$CM_1=\frac {1}{2}DE=\frac {1}{2}×2=1$

∴$M、$$N$距离的最小值是$NM_1=CN-CM_1=2-1=1$

$M、$$N$距离的最大值是$NM_2=CN+CM_2=2+1=3$

$(2)$连接$CM，$$CN，$作$NH⊥MC$交$MC$延长线于$H$

∵$△ACB$是等腰直角三角形，$N$是$AB$中点

∴$CN=\frac {1}{2}AB=2$

同理：$CM=\frac {1}{2}DE=1$

∵$△CDE$绕顶点$C$逆时针旋转$120°$

∴$∠MCN=120°$

∴$∠NCH=180°-∠MCN=60°$

∴$CH=\frac {1}{2}CN=1$

∴$NH=\sqrt {3}CH=\sqrt {3}$

∵$MH=MC+CH=2$

∴$MN=\sqrt {MH^2+NH^2}=\sqrt {7}$