解：$(1)S_{△ABC}=S_{四边形AFBD}$
由题意可得，$AD//EC，$$AD=CF$
故$S_{△ACF}=S_{△ADF}=S_{△ABD}$
∵$S_{△ABC}=S_{△ACF}+S_{△AFB}，$$S_{四边形AFBD}=S_{△AFB}+S_{△ABD}$
∴$S_{△ABC}=S_{四边形AFBD}$
$(2)△ABC$为等腰直角三角形，即$AB=AC，$$∠BAC=90°$
∵$F $为$BC$的中点
∴$CF=BF$
∵$CF=AD$
∴$AD=BF$
又∵$AD//BF$
∴四边形$AFBD$为平行四边形
∵$AB=AC，$$F $为$BC$的中点
∴$AF⊥BC$
∴$▱AFBD$为矩形
∵$∠BAC=90°，$$F $为$BC$的中点
∴$AF=\frac {1}{2}\ \mathrm {BC}=BF$
∴矩形$AFBD$为正方形
$ (3)$如图，由$(2)$知，$△ABC$为等腰直角三角形，$AF⊥BC$
设$CF=k，$则$GF=EF=CB=2k$
由勾股定理得$CG=\sqrt{5}k，$$sin ∠CGF=\frac {CF}{CG}= \frac {k}{\sqrt 5k} =\frac {\sqrt{5}}{5}$
