解：$(1)$设原计划租用$A$种客车$x$辆，则这次研学去了$(45x+30)$人
根据题意得：$45x+30=60(x-6)$
解得：$x=26$
∴$45x+30=45×26+30=1200$
答：原计划租用$A$种客车$26$辆，这次研学去了$1200$人。
$(2)$设租用$B$种客车$y$辆，则租用$A$种客车$(25-y)$辆
根据题意得$\begin{cases}{45(25-y)+60y≥1200}\\{y≤7}\end{cases}$
解得$5≤y≤7$
又∵$y$为正整数
∴$y$可以为$5，$$6，$$7$
∴该学校共有$3$种租车方案
方案$1：$租用$5$辆$B$种客车，$20$辆$A$种客车；
方案$2：$租用$6$辆$B$种客车，$19$辆$A$种客车；
方案$3：$租用$7$辆$B$种客车，$18$辆$A$种客车；
$(3)$选择方案$1$的总租金为$300×5+220×20=5900($元)
选择方案$2$的总租金为$300×6+220×19=5980($元)；
选择方案$3$的总租金为$300×7+220×18=6060($元)
∵$5900＜5980＜6060$
∴租用$5$辆$B$种客车，$20$辆$A$种客车最合算
