第111页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：设甲同学步行的速度为$x\ \mathrm {km/h}，$则乙同学骑自行车的速度为$4x\ \mathrm {km/h}$

由题意得：$\frac {2.4}{x}-\frac {2.4}{4x}=\frac {30}{60}$

解得：$x=3.6$

经检验，$x=3.6$是原方程的解，且符合题意

∴$4x=4×3.6=14.4$

答：乙同学骑自行车的速度为$14.4\ \mathrm {km/h}。$

解：过点$A$作$AF⊥CD$于点$F，$则$∠AFB=90°$

在$ Rt △ABF $中，$s in α=\frac {AF}{AB}=\frac {24}{25}$

设$AF=24x$米，$AB=25x$米

则由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{(25x)^2-(24x)^2}=7x($米)

在$Rt △A FE $中，$tan β=\frac {AF}{EF}=3$

∵$BE=20$米

∴$\frac {24x}{7x+20}=3$

解得$x=20$

经检验，$x=20$是原方程的根

∴$AB= 25x=500$米

∴$A、$$B$两点间的距离为$500$米

解：在$△AED$中，∵$DE⊥AB$于$E，$$DE：$$AE=1：$$5$

∴设$DE=x，$则$AE=5x$

由勾股定理，$AD^2=AE^2+ED^2=(5x)^2+x^2=26x^2$

∴$AD=\sqrt {26}x$

在$△ADC$中，∵$∠C=90°，$$∠ADC=45°$

∴$∠DAC=45°$

∴$AC=DC$

由勾股定理，$AC^2+DC^2=AD^2=26x^2$

∴$AC=DC=\sqrt {13}x$

在$Rt△BED$中，∵$ED=x，$$BE=3$

由勾股定理，$BD^2=ED^2+BE^2=x^2+3^2=x^2+9$

∴$BD=\sqrt {x^2+9}$

在$Rt△BED$和$Rt△BCA$中，∵$∠B$是公共角，$∠BED=∠BCA=90°$

∴$△BED∽△BCA$

∴$\frac {ED}{AC}=\frac {BD}{BA}，$即$\frac {x}{\sqrt {13}x}=\frac {\sqrt {x^2+9}}{3+5x}$

解关于$x$的方程$3+5x=\sqrt {13} · \sqrt {x^2+9}$

两边平方得：$(3+5x)^2=13 · (x^2+9)$

化简得：$2x^2+5x-18=0，$即$(x-1)(2x+9)=0$

∴$x_1=2 ，$$x_2=-\frac {9}{2}$

∵$x=ED＞0$

∴$x=ED=2，$$AE=5x=10$

∴$AB=AE+BE=10+3=13$

∴$S_{△ABD}=\frac {1}{2}ED · AB=\frac {1}{2}×2×13=13$

$(1)$证明：如图，连接$OC$

∵$CF $是$⊙O$的切线，$C$是切点

∴$OC⊥CF，$即$∠OCF=90°$

∴$∠OCB+∠BCF=90°$

∵$CD⊥AB$

∴$∠BEC=90°$

∴$∠BCE+∠OBC=90°$

∵$OB=OC$

∴$∠OCB=∠OBC$

∴$∠BCE=∠BCF，$即$CB$平分$∠DCF $

$(2)$如图，连接$OG，$过点$G $作$GM⊥AB$于点$M$

∵$AB$是$⊙O$的直径$，CD⊥AB$

∴$CE=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}=3，$$OC=OG=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=\sqrt{10}$

∴$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=1$

∵$GM⊥AB，$$CD⊥AB$

∴$CE//GM$

∴$△GMH∽△CEH$

∴$\frac {GH}{CH} =\frac {GM}{CE}= \frac {MH}{HE} $

∵$CH=3GH$

∴$\frac 13=\frac {GM}3=\frac {MH}{HE}$

∴$GM=1$

设$MH=x，$则$HE=3x$

∴$HO=3x-1，$$OM=4x-1$

在$Rt△OGM$中，$OM^2+GM^2=OG^2$

∴$(4x-1)^2+1^2=(\sqrt{10} )^2$

解得$x=1($负值舍去)

∴$BH=OH+OB=3×1-1+ \sqrt{10}=2+ \sqrt{10}$