解:∠B+∠CDE-∠E=90°. 理由如下: 如答图，延长CD分别交AB,EF于点G,H， 则∠GCB=90°,∠1=90°-∠B. 因为AB//EF，所以∠1=∠2=90°-∠B. 在△DEH中，由三角形的外角性质，得∠CDE=∠E+∠2, 即∠CDE=∠E+90°-∠B, 所以∠B+∠CDE-∠E=90°.
解:如答图①，过点P作EF//AB, ∵∠A=50°， ∴∠APE=∠A=50°. ∵AB//CD， ∴EF//CD, ∴∠D+∠EPD=180°. ∵∠D=150°， ∴∠EPD=180°-∠D=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°.
$解:如答图②，设PD交AN于点O， $ $∵AP⊥PD,$ $∴∠APO=90°. $ $∵∠PAN+\frac{1}{2}∠PAB=∠APD, $ $∴∠PAN+\frac{1}{2}∠PAB=90°. $ $∵∠POA+∠PAN=90°，$ $∴∠POA=\frac{1}{2}∠PAB.$ $∵∠POA=∠NOD,$ $∴∠NOD=\frac{1}{2}∠PAB. $ $∵DN平分∠PDC,$ $∴∠ODN=\frac{1}{2}∠PDC, $ $∴∠AND= 180° - ∠NOD- ∠ODN= 180° - \frac{1}{2}(∠PAB+∠PDC). $ $由(2)得∠CDP+∠PAB-∠APD=180°, $ $∴∠CDP+∠PAB=180°+∠APD, $ $∴∠AND=180°-\frac{1}{2}(∠PAB+∠PDC)=180°- \frac{1}{2}(180°+∠APD)=180°-\frac{1}{2}(180°+90°)=45°.$
解:如答图①，过点P作PQ//AB, ∵PQ//AB,AB//CD, ∴CD//PQ, ∴∠CFP+∠FPQ=180°, ∴∠FPQ=180°-150°=30°. 又∵PQ//AB, ∴∠BEP=∠EPQ=25°, ∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=25°+30°=55°.
解:∠PFC=∠PEA+∠EPF. 理由如下: 如答图②，过点P作PN//AB, ∵AB//CD， ∴PN//CD, ∴∠PEA=∠NPE ∵∠FPN=∠NPE+∠EPF. ∴∠FPN=∠PEA+∠EPF. ∵PN//CD， ∴∠FPN=∠PFC, ∴∠PFC=∠PEA+∠EPF.
$解:如答图③，过点G作GH//AB $ $∵GH//AB,AB//CD,$ $∴GH//AB//CD, $ $∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG. $ $又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，$ $∴∠HCE=∠AEG=\frac{1}{2}∠AEP,∠HGF=∠CFG=\frac{1}{2}∠CFP$ $同(2)易得∠CFP=∠P+∠AEP. $ $∴∠HGF=\frac{1}{2}(∠P+∠AEP)=\frac{1}{2}(a+∠AEP), $ $∴∠EGF=∠HGF-∠HGE=\frac{1}{2}(a+∠AEP)-∠HGE=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}∠AEP-∠HGE=\frac{1}{2}α$
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