解：$(1)$存在， 由题意得，$(1，$$2)$的$“k$级变换点”为$(k，$$-2k)$
将$(k，$$-2k)$代入反比例函数$y=-\frac 4{x，}$得$-4=k(-2k)$
解得$k=± \sqrt{2} $
$(2) $由题意得，点$B$的坐标为$(kt，$$- \frac 12kt+2k )$
由点$A$的坐标知，点$A$在直线$y=\frac {1}{2} x-2$上
同理可得，点$B$在直线$y=- \frac {1}{2} x+2k$上
则$y_{1}=\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-2，$$y^2=- \frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}+2k$
则$y_{1}-y_{2}=\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}-2- (-\frac {1}{2}\ \mathrm {m^2}+2k )=\ \mathrm {m^2}-2k-2$
∵$k≤-2$
∴$-2k-2+\ \mathrm {m^2}≥2，$即$y_{1}-y_{2}≥2 $
$(3)$设在二次函数图像上的点为$A、$$B$
设点$A(s，$$t)，$则其$“1$级变换点”的坐标为$(s，$$-t)$
将$(s，$$-t)$代入$y=-x+5，$得$-t=-s+5，$则$t=s-5$
即点$A$在直线$y=x-5$上
同理可得，点$B$在直线$y=x-5$上
即点$A、$$B$所在的直线为$y=x-5$
由抛物线的表达式知，其和$x$轴的交点为$(-1，$$0)、$$(5，$$0)，$其对称轴为直线$=2$
当$n> 0$时，抛物线和直线$AB$的大致图像如图
直线和抛物线均过点$(5，$$0)，$则点$A、$$B$必然有一个点为$(5，$$0)$
设该点为$B，$另外一个点为$A，$如图，
联立直线$AB$和抛物线的表达式，得$y=nx^2-4nx-5n=x-5，$即$nx^2-(4n+1)x-5n+5=0$
设点$A$的横坐标为$x，$则$x+5=\frac {4n+1}{n}$
∵$x≥0$
∴$\frac {4n+1}{n} -5≥0，$解得$n≤1$
此外，直线$AB$和抛物线在$x≥0$时有两个交点
故根的判别式为$[-(4n+1)]^2-4n(-5n+5)=(6n-1)^2> 0$
故$n≠ \frac {1}{6}，$即$0< n≤1$且$n≠ \frac {1}{6}；$
当$n< 0$时，当$x≥0$时，直线$AB$不可能和抛物线在$x≥0$时有两个交点，故该情况不存在
综上所述，$0< n≤1$且$n≠ \frac {1}{6}$
