解：$(1)$当$22≤x≤30$时，设函数表达式为$y=kx+b$
将$(22，$$48)，$$(30，$$40)$代入解析式
得$\begin{cases}{22k+b=48}\\{30k+b=40}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=70}\end{cases}$
∴函数表达式为：$y=-x+70$
当$30＜x≤45$时，设函数表达式为：$y=mx+n$
将$(30，$$40)，$$(45，$$10)$代入解析式
得$\begin{cases}{30m+n=40}\\{45m+n=10}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=100}\end{cases}$
∴函数表达式为：$y=-2x+100$
综上，$y$与$x$的函数表达式为：$y=\begin{cases}{-x+70(22≤x≤30)}\\{-2x+100(30＜x≤45)}\end{cases}$
$(2)$设利润为$w$元
当$22≤x≤30$时，$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$
∵在$22≤x≤30$范围内，$w$随着$x$的增大而增大
∴当$x=30$时，$w$取得最大值为$400$
当$30＜x≤45$时，$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$
当$x=35$时，$w$取得最大值为$450$
∵$450＞400$
∴当销售价格为$35$元$/\ \mathrm {kg}$时，利润最大为$450$元
