解：$(1)$连接$MF$
∵四边形$ABCD$是菱形
∴$AB=AD，$$AC⊥BD，$$OA=OC=6\ \mathrm {cm}，$$OB=OD=8\ \mathrm {cm}$
在$Rt△AOB$中，$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10(\ \mathrm {cm})$
∵$MB=MF，$$AB=AD$
∴$∠ABD=∠ADB=∠MFB$
∴$MF//AD$
∴$\frac {BM}{BA}=\frac {BF}{BD}$
∴$ \frac {t}{10}=\frac {BF}{16}$
∴$BF=\frac {8}{5}t\ \mathrm {cm}(0< t≤8) $
$(2) $当线段$EN$与$\odot M$相切时
易知$△BEN∽△BOA$
∴$\frac {BE}{OB}=\frac {BN}{AB}$
∴$\frac {2t}{8}=\frac {16-2t}{10}$
∴$t=\frac {32}{9}$
∴ 当$t=\frac {32}{9} $时，线段$EN$与$\odot M$相切
$ (3) $由题意知，当$0< t≤ \frac {32}{9} $时，$⊙M$与线段$EN$只有一个公共点
当点$N$在$\odot M$内部时，也满足条件
当点$F $与点$N$重合时，$\frac {8}{5}\ \mathrm {t}+2t=16，$解得$t=\frac {40}{9}$
∴$ \frac {40}{9} < t< 8$时，$⊙M$与线段$EN$只有一个公共点
综上所述，满足条件的$t $的取值范围为$0< t≤ \frac {32}{9} $或$ \frac {40}{9} < t< 8$
