第20页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$把点$A(2，$$m)$代入$y=-x+5，$得$m=3$

∴$A(2，$$3)$

把$A(2，$$3)$代入反比例函数$y=\frac {k}{x} $中，得$k=6$

∴反比例函数的表达式为$y=\frac 6{x}$

$(2) $联立两个函数的表达式，得$\begin{cases}{y=-x+5}\\{y=\dfrac 6{x}}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=2}\\{y=3}\end{cases}，$或$\begin{cases}{x=3}\\{y=2 }\end{cases}$

∴点$B$的坐标为$(3，$$2)$

过点$B$作$BC⊥x$轴于点$C，$则$OC=3，$$BC=2$

∴$OB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

∴$cos ∠BOD=\frac {OC}{OB}=\frac {3}{\sqrt{13}}= \frac {3\sqrt{13}}{13}$

解：$(1)$在$Rt△ABC$中，∵$tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}$

∴设$AC=3x，$$BC=4x$

∵$BD=2$

∴$DC=BC-BD=4x-2$

∵$∠ADC=45°$

∴$AC=DC，$即$ 4x-2=3x$

解得$x=2$

∴$AC=6，$$BC=8$

∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10 $

$(2)$作$DE⊥AB$于点$E$

由$ tan B=\frac {DE}{BE}=\frac {3}{4}$

可设$DE=3a，$则$BE=4a.$

∵$DE^2+BE^2=BD^2，$且$BD=2$

∴$(3a)^2+(4a)^2=2^2$

解得$a=\frac {2}{5}($负值舍去)

∴$DE=3a=\frac {6}{5}$

∵$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=6 \sqrt{2}$

∴$s in ∠BAD=\frac {DE}{AD}=\frac {\sqrt{2}}{10}$

解：如图，过点$B$作$BE⊥AC，$垂足为$E$

由题意得，$∠ACD=25°，$$∠BCD=55°，$$∠FAB=20°，$$AB=1000$米，$CD//FA$

∴$∠CAF=∠ACD=25°$

∴$∠BAC=∠FAB+∠CAF=45°，$$∠ACB=∠BCD-∠ACD=30°$

在$Rt△ABE$中，$AE=AB · cos 45°=1000× \frac {\sqrt{2}}{2}=500 \sqrt{2} ($米)，

$BE=AB · s in 45°=1000× \frac {\sqrt{2}}{2}=500 \sqrt{2} ($米)

在$Rt△BCE$中，$∠BCE=30°$

∴$BC=2BE=1000 \sqrt{2} $米，$CE=\sqrt{3}\ \mathrm {BE}=500 \sqrt{6} $米

∴$AC=AE+CE=(500 \sqrt{2} +500 \sqrt{6} )$米

∴$AC-BC=500 \sqrt{2} +500 \sqrt{6} -1000 \sqrt{2}=500 \sqrt{6} -500 \sqrt{2} ≈520($米)

∴甲组同学比乙组同学大约多走$520$米的路程

解：$(1)$如图，过点$D$作$DG⊥BF，$垂足为$G$

∵斜坡$CD$的坡度$i=\sqrt{3}∶1$

∴$\frac {DG}{GC}=\sqrt{3}$

∴$∠DCG=60°$

在$Rt△DCG $中，$DC=12m$

∴$DG=DC · s in 60°=12× \frac {\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3} (\mathrm {m})$

∴点$D$到地面的竖直高度为$6 \sqrt{3}\ \mathrm {m} $

$(2)$如图，过点$D$作$DH⊥AB，$垂足为$H$

则$DG=BH=6\sqrt 3\ \mathrm {m}，$$DH=BG$

∵$\frac {DG}{GC}=\sqrt{3}$

∴$GC=\frac {DG}{\sqrt{3}}=6\ \mathrm {m}$

设$BE=x\ \mathrm {m}，$则$BG=GC+CE+BE=(16+x)m$

在$Rt△ABE$中，$∠AEB=45°$

∴$AB=BE · tan 45°= xm$

∴$AH=AB-BH=(x-6 \sqrt{3}\ \mathrm {m}$

在$Rt△ADH$中，$∠ADH=36°$

∴$tan 36°=\frac {AH}{DH}=\frac {x-6\sqrt{3}}{16+x} ≈0.7$

∴$x≈71$

经检验，$x=71$是原方程的根

∴$AB=71\ \mathrm {m}$

∴楼房$AB$的高度约为$71\ \mathrm {m}$