解：$ (2)$在$Rt△ABC$中，∵$∠C=90°，$$AB=10 ，$$AC=8$
∴由勾股定理得$BC=6$
当点$P $在$AD$上运动时
∵四边形$DPQM$是菱形
∴$PD=PQ$
∴$5-5t=8-4t$
∴$t=-3($不合题意，舍去)
当点$P $在$BD$上运动时，如图，过点$P $作$PH⊥DQ $于点$H$
∵四边形$DPQM$是菱形
∴$PD=PQ，$且$PH⊥DQ$
∴$DH=HQ=\frac {1}{2}\ \mathrm {DQ}=\frac {1}{2} [4-4(t-1)]=4-2t$
∵$DE//AC$
∴$∠DEB=∠ACB=90°=∠PHD$
∴$PH//BE$
∴$△PDH∽△BDE$
∴$\frac {DP}{DB}=\frac {DH}{DE}=\frac {PH}{BE}$
∴$ \frac {5t-5}{5}=\frac {4-2t}{4}=\frac {PH}{3}$
∴$t=\frac {4}{3}，$$PH=3t-3$
综上所述，当$t=\frac {4}{3} $时，$▱DPQM$是菱形
$(3) $当$0< t< 1$时，$S=\frac {1}{2} ×(8-4t+4)×(3-3t)=6t^2-24t+18$
当$t=1$时，不能作出$▱DPQM$
当$1< t< 2$时，$S=\frac {1}{2} ×(8-4t)×(3t-3)=-6t^2+18t-12 $
$(4)$当点$P $在$AD$上时，不存在$△DPQ $与$△BDE$相似
当点$P $在$BD$上时，则$∠PDQ=∠BDE$
若$∠PQD=∠DEB=90°$时，$△PDQ∽△BDE$
∴$\frac {DP}{DB}=\frac {DQ}{DE}$
∴$\frac {5t-5}{5}=\frac {8-4t}{4}$
∴$t= \frac {3}{2}$
若$∠DPQ=∠DEB=90°$时，$△QPD∽△BED$
∴$\frac {DQ}{DB}=\frac {DP}{DE}$
∴$\frac {8-4t}{5}=\frac {5t-5}{4}$
∴$t=\frac {57}{41}$
综上所述，当$t=\frac {3}{2} $或$t=\frac {57}{41} $时，$△DPQ $与$△BDE$相似
