解：$(1)$∵抛物线$y=ax^2-2ax+c $过点$C(2，$$3)、$$E(-2，$$0)$
∴$\begin{cases}{4a-4a+c=3}\\{4a+4a+c=0}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=- \dfrac {3}{8}}\\{c=3}\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=- \frac {3}{8} x^2+ \frac {3}{4} x+3$
当$y=0$时，$- \frac {3}{8} x^2+ \frac {3}{4} x+3=0$
解得$x_{1}=-2($舍去)，$x_{2}=4$
∴$F(4，$$0) $
$(2)$设直线$CE$的表达式为$y=kx+b$
∵直线过点$C(2，$$3)、$$E(-2，$$0)$
∴$\begin{cases}{2k+b=3}\\{-2k+b=0}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=\dfrac 34}\\{b=\dfrac 32}\end{cases}$
∴直线$CE$的表达式为$y=\frac {3}{4} x+ \frac {3}{2}$
设点$Q(t，$$- \frac {3}{8}t^2+ \frac {3}{4}t+3 )$
则点$Q $向左平移$2$个单位长度，向上平移$3$个单位长度得到点$P(t-2，$$-\frac {3}{8}t^2+ \frac {3}{4}t+6 )$
将$P(t-2，$$-\frac {3}{8}t^2+ \frac {3}{4}t+6 )$代入$y=\frac {3}{4} x+ \frac {3}{2}$
解得$t_{1}=-4，$$t_{2}=4($舍去)
∴点$Q $的坐标为$(-4，$$-6) $
$(3)$将$E(-2，$$0)$代入$y=ax^2-2ax+c，$得$c=-8a$
∴$y=ax^2-2ax-8a=a(x-1)^2-9a$
∴顶点坐标为$(1，$$-9a)$
① 当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点
∴$0< -9a< 3，$解得$-\frac {1}{3} < a< 0$
②当抛物线与直线$BC$的交点在点$C$上方，且与直线$AD$的交点在点$D$下方时
与正方形有两个交点，即$\begin{cases}{a+2a-8a< 3}\\{a×2^2-2a×2-8a> 3}\end{cases}$
解得$- \frac {3}{5} < a< - \frac {3}{8}$
综上所述，$a$的取值范围为$- \frac {1}{3} < a< 0$或$- \frac {3}{5} < a< - \frac {3}{8}$
