第13页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

$(1)$证明：∵$BD⊥AC$于点$D，$$DE⊥AB$于点$E$

∴$∠BDC=∠BED=90°$

∵$BD · DE=BE · CD$

∴$\frac {BD}{BE}=\frac {CD}{DE}$

∴$△BCD∽△BDE$

$(2)$∵$△BCD∽△BDE$

∴$∠EBD=∠DBC$

∵$BD⊥AC$

∴$CD=AD=6，$$BA=BC=10$

∵$BD⊥AC$

∴$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=8$

∵$△BCD∽△BDE$

∴$\frac {BE}{BD}= \frac {BD}{BC} $

∴$\frac {BE}{8} =\frac {8}{10} $

∴$BE=\frac {32}{5}$

∴$AE=BA-BE=10- \frac {32}{5}= \frac {18}{5}$

解：如图，连接$CF，$分别交$GN、$$HM$于点$P、$$Q$

∵$AF=BC=1$米，$∠A=∠B=90°$

∴$CF//AB$

∴$∠AFC=∠BCF=90°$

∴四边形$ABCF $是矩形

∵四边形$MNGH$是矩形

∴$∠HMN=∠MNG=90°，$$MH=NG$

∴$∠HQF=∠GPC=90°，$$MQ=AF=NP=BC=1$米

∵$∠BCG=∠AFH=135°$

∴$∠HFQ=∠GCP=45°$

∴$FQ=HQ，$$CP=GP$

∴$FQ=HQ=MH-MQ=MH-1$

同理可得，$CP=MH-1$

∴$AM=NB=MH-1$

∴$MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH$

∴$S_{矩形MNGH}=MN · MH=(5-2MH) · MH=5MH-2MH$

$=-2(MH^2-\frac 52MH)=-2(MH-\frac {5}{4} )^2+ \frac {25}{8}$

∴当$MH= \frac 54$米时，矩形铁皮$MNGH$的面积最大，最大面积为$ \frac {25}{8} $平方米