解：$(1)$∵二次函数的图像经过坐标原点$O(0，$$0)$
∴$\ \mathrm {m^2}-1=0$
解得$m=±1$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x$或$y=x^2+2x$
$(2)$∵$m=2$
∴$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$
∴抛物线的顶点为$D(2，$$-1)$
当$x=0$时，$y=3$
∴点$C$的坐标为$(0，$$3) $
$(3) $当点$P、$$C、$$D$共线时，$PC+PD$最短，直线$CD$相应的函数表达式为$y=-2x+3$
当$y=0$时，$x=\frac {3}{2}$
∴点$P $的坐标为$(\frac {3}{2}，$$0)$
